小概率事件的原理及应用

李昀鸿

摘 要：小概率事件原理是概率论与数理统计这门学科中的一个基本原理。然而正确理解小概率事件的原理及其推断方法，并能辩证地分析、处理、应用小概率事件对人们的生活有着非凡的实际意义。本文主要是围绕小概率事件及其应用展开相关研究与讨论：首先，对概率论的起源以及小概率事件的定义、原理进行阐释与推理；其次，对小概率事件原理与小概率事件推断方法进行了较为详细的介绍与归纳，并阐述了小概率事件 与不可能事件 之间的区别与联系；最后，本研究针对生活与生产实践中的小概率事件作了深层次的说明，并结合实例，在深刻剖析小概率事件原理及其在实践中应用的基础上，对小概率事件原理的实用价值与实践意义做了详细阐述，并为人们加深对小概率事件的科学认识与有效把握与采取正确、合理的态度来对待小概率事件提出了一些参考建议。

关键词：小概率事件 假设检验 统计推断

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2016）06（a）-0000-00

1 绪论

小概率事件又被称作为"黑天鹅”事件，是指就理论而言由事件存在发生的条件与可能性，但在现实情况下，事件发生的可能性很小，小到几乎可以忽略不计。在我们的现实生活中，到处都存在着小概率事件，只是因为其发生的可能性小，从而不易引起我们的注意。基于对小概率事件这种在理论上可能发生，而现实中又几乎可以认为它不可能发生的认知，不少人经常会对小概率事件持着两种完全相反的立场：一种是彻底忽略小概率事件，就把它划归于不可能事件来处理；另一种则是承认小概率事件的存在，终日提心吊胆。对于有些人来讲，大概一辈子也碰不到一次，但也有那么一些人可能多次碰到。比如前几年的四川地震，在汶川大地震后，过了五年，四川芦山又发生了大地震，使得两个地域交界的居民在短短的几年内接连受到两次特大地震的影响。从这个例子可以看出，小概率事件很是很难发生一次，但是我们不能忽视小概率事件会发生的这一事实，而且一般而言，小概率事件一旦发生其引发的反响都不小。

事实上，在概率论与数理统计的研究范围领域中，对小概率事件的存在与发生已经有了科学且严谨的认识与论述。在前人研究的基础上，本文尝试利用辩证思维方法对小概率事件及其原理进行阐释，并通过实例如工、农业生产中存在的质量管理问题，医学中的医疗效果推断问题，运动员比赛状态推断问题以及保险管理中的危险事件发生概率推断问题等，来说明小概率事件在现实生活中的重要意义与价值，以期加深人们对小概率事件的科学认识与有效把握，进而促使人们采取一种正确、合理的态度来对待小概率事件。我们之所以研究小概率事件，归根结底不是设法研究如何避免小概率事件发生的方法，而是想充分的利用小概率事件所包含的信息来研究事件本身的特征，为事件及其相关事件的后期发展作出预测。

2 小概率事件原理

2.1 小概率事件的定义

在概率统计理论中，我们用数值 来具体量化随机事件 发生的可能性，它满足如下特征：

（1）对于任何事件 ，则有： ；

（2）对于不可能事件 与必然事件 ，则有： ；

（3）对于数个个事件 两两互不相容，则有：

。

定义2.1 对于某件事发生的概率无限趋近于1，那么它的对立事件发生的概率也就无限趋近于0。而在概率论中，一般把概率无限趋近于0的事件称之为小概率事件。

2.2 小概率事件的原理

定理2.1（伯努利大数定律） 在 次独立重复的实验中，记事件A发生的次数为 ， 是事件 发生的概率。则对于任意正数 ，则有：

或

根据伯努利大数定律，在大量重复实验中事件出现的频率无限接近于它们的概率。也即是说反复做相同试验的情况下，事件 出现 的频率与概率值 呈现 正相关，若 的值很小为 ，则 则出现的频次就很少，量化情况下就是1000次相同的随机事件下才出现1次。因此，发生概率极其低的一个事件在偶然一次实验中出现实际上基本是不可能的。因此对于实际应用方面，也称这样的事件为实际不可能事件。下面我们给出一定的理论推导。设事件 对于某一个随即试验而言出现的概率为 ，因为为小概率事件，所以其对应的概率值 可以认为是一个任意小的正数。而 表示“ 在第 次随机试验中出现”，则有： ， 。故在前 次相互独立的试验中事件 一次都不出现的概率为：

那么，在前 次相互独立的随机试验中 至少出现一次的概率 为：

由于 是一个任意小的正数，因此有

从上面的理论及公式推导，可以发现单次随即试验下不可能发生的事件并不是一直都不发生，一直都不可能发生的事件是不可能事件 ，而随着实验次数的增加，增加到一个很大程度上时，小概率事件就会发生。

3 小概率事件原理的应用

3.1 经典小概率事件的研究

在城市街头巷尾经常能见到一类叫“摸球游戏”的游戏。这个游戏的规则是：在一袋有16个大小，形状，光滑程度相同的玻璃球，总共8红8白。玩家可以从中随意的摸出8个球，当所摸出的球的颜色比例（红色：白色）满足表1中所列比例情况时，则可以获得相应比例情况下给出的奖金。

解：这个游戏表面看起来非常具有吸引力的。一方面，给出的5种比例性中居然有4种可以获得奖金，而仅只有一种要被扣钱，而且最高奖10元，扣钱才2元，从表面上来看，感觉是一个稳赚不赔的赌博。另一方面，由于五种赌注情况下对应的赌资金额不大，从学生到成年人都能拿出钱来玩。从这两方面可以说明这个游戏的吸引力大，而且参与人数多，进而说明这个游戏反复玩的次数肯定多，对应与概率中的术语就是，此随机实验能反复进行多少次。

可是，玩的人少之又少，到底是什么原因呢？事实上，这是概率知识的一个具体应用：从16个球中任意取出8个，所有可能的取出方法为 种。事件总数是一个固定值，并且是选球是随机抽取，这是个等可能性的事件，符合典型的古典概型要求。现在假定已经进行了2000次的这种摸球实验，则通过概率的计算公式，可以得出上述5种颜色比例结果对应的概率及出现的次数如下表1-2所示。

从表2的数据，可以得出该摊主预期可得：

（元）

这个例子的结果可能会让人很惊讶，没想到中奖10元的概率是这么的小，他只有0.0001554的概率，这显然是一个小概率事件，也可以说是一个表面上看中奖可能性大的陷阱。

在我们的生活中，有很多类似的例子，比如彩票等。许多人喜欢买彩票，并且因此一夜暴富，成为一个富翁。事实上，人们应该知道彩票中奖是一个小概率事件。但毕竟这是一个福利事业，要以献爱心为目的，中奖自然是好事，但不要妄想去中奖。

3.2 小概率事件原理在商业保险中的应用

现有一家保险公司，有2500个年龄相近、处于相同社会阶层的人购买了公司某保险，从社会的数据可知，每个人在一年内死亡的概率是0.002。每一个被投保人在1月1日支付12元，如果他在这一年内死亡，公司将会向他的家属发放2000元的保险费。求此保险公司亏本的概率。

解：根据题目可知保险公司的保费收入为30000元，假定被投保人死亡数为 ，则保险公司每年需要支付 元。那额保险公司的亏本数计算方法为 ，即 。由于此问题可以看成是2500重伯努利实验，则根据泊松定理可得投保人中一年内出现15人死亡的概率为

从结果来看，出现亏本完全是一个小概率事件。而且保险公司也是企业，企业的最大经营目的是盈利，包括银行在内没有一家企业是会甘愿坐赔本买卖的。而且实际上，可以计算出如果保险公司的盈利出现在10000元以下的概率只有0.014，这显然也是一个小概率事件，所以可以推断保险公司针对这一保单的盈利不会低于10000元。

通过具体的数学计算我们可以论证保险公司实际上就是一个玩小概率事件的盈利企业，保险公司在推出每一款保险之前，都是由精算师进行了大量的数据论证与分析，而这些的目的是在于确保保险公司的盈利性，而且是确保的最大盈利模式。但是也不得不说明，人们不能因为这个原因以及人为认为判断小概率事件不可能在自己身上发生而直接忽略购买合适的保险。

3.3 小概率事件原理在假设检验中的应用

假设检验是数学统计理论的重要发展，是一种统计推断理论。其核心思想是基于小概率反证法来研究样本间存在差异性的原因。而反证法的思路则是先提出假设检验 ，然后运用适当的统计方法求解该检验成立的概率。通过概率计算判断，如果概率很小，是一个小概率事件的话，则最开始提出的假设就不成立。下面通过举例来进行简单介绍。

某工厂有一批总计200个的产品，产品需经检验合格后方能出厂销售。针对此产品国家制定的合格标准是不合格率不得大于1%。如今任取5个产品，发现5个产品内包含有次品。 现在来论证这批产品能否顺利出厂销售。

解：设这批产品的次品率是 ，则要判断产品是否达到合格标准就是要验证是否存在 。

首先假设 成立，那么这批共计200件产品只能出现2个次品。那么从200个中任取5个，会出现如下三种可能，即 ：“没有抽到一个次品”， ： “抽到了一个次品”， ：“抽到了2个次品”。

因此任抽5个，出现次品的概率

上述结果表明在一次抽查中就遇到事件“任取5个，且出现次品”这样的概率非常小。因此，假设是不可接受的。这只能说明次品率超过0.01，因此，这批产品不能出厂。

前面已经论述，在无限次的独立重复试验中，小概率事件是会在其中的某一次试验中发生的。所以，假设检验中，可能会有两类错误：第一类错误是在实际的成立的条件下，我们认为它不成立，即就犯了“弃真”的错误。第二类错误是如果它本来是不成立的，然而事实上它被判断成了成立，也就是我们犯了“采伪”。就从人们的主观意愿来说，自然是要使这两种错误尽可能不犯，就是让这俩小概率事件的概率尽可能的小。但是，事实是，当样本容量确定下来后，两种错误的概率并不可能同时减少，减少一个，那么另外一个就会增加。只有增加样本容量，才能使它们俩同时减少。在实际应用中，统计人员一般把“弃真”看的比“采伪”重要，是为了控制第一类错误发生的概率，这就是显著性检验。

假设检验的基本方法一般是以采样的样本值为依据，通过记录一个“小概率事件”在一次采样中是否发生从而对总体进行判断某件事（最初的假设是否是正确的）。具体做法是：为了检验一个假设成立与否，第一步要先假设它成立，如果得出了小概率事件（小于显著性水平），就认为这是“反证法”推出了矛盾，因此要否定它，反之则接受。

4 研究成果与展望

4.1 研究成果

本文经过大量查阅文献资料，对小概率事件原理的理论进行学习研究，并对其原理进行推导。然后详细论述了小概率事件与不可能事件的异同点，以期帮助大学深刻认识两者的区别，不要产生混淆。最后结合典型实例来论述小概率事件在现实生活中的应用，加深大家对小概率事件的认知与理解。

4.2 展望

在如今的生活中有无数的例子表明人们通常喜欢忽略小概率。从行为经济学的角度来看，这也是一种过度自信现象，比如司机过于相信自己的驾驶技术和忽略对事故发生的可能性，人们似乎很少去担心小概率事件发生的危险性。但是，换一个思路将，担心归担心，但我们并不需要把关注的重心一直停留在小概率事件的极端个别现象。总之，如果我们掌握了小概率原理，在实际生活中，我们可以避害就利，科学地选择好的方面，也尽量去避免不好的方面，让这个神奇的小概率事件掌握在我们的手中。

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