厚尾分布下的债务风险测度法

肖冯

摘要：在归纳现存主要VaR测度方法的基础上，构建了基于厚尾分布特征的t分布假设，推出了债务利率风险损失函数的分位点判定函数及其最终测度模型，并通过一家大型煤矿企业的日元外债案例，运用厚尾t分布的债务风险测度法和传统的德尔塔一正态分布法进行检验，结果表明：前者对债务数据波动性和厚尾程度的判定比后者灵敏，这归因于t分布参数和自由度变量提供的识别机制。当￡分布参数落在（1/2，1）内时，VAR能取到最小值，当t分布参数在（-1，0]时取到最大值，为划分风险价值等级提供依据。

关键词：厚尾分布；债务风险价值；分位点；德尔塔——正态分布

DOI：10.16315/j.stm.2016.02.013

中图分类号：F832.5

文献标志码：A

A method of fat tail distribution debt VAR：case form JPY debt XIAo Feng

Abstract：This paper reviewed VaR calculation method，eonstructed t distribution hypothesls based on fat tail distri-bution trait.deduced Var decision function's fractile point and its final measure model.Tlhe paper used a case oflarge-seale coal enterprises'Japanese Yen debt，compared to flat tail t distribution VAR model and Delfa-NOlTllal Dis-tribution.The results show that flat tail t distribution VAR model is more nexible than Delta-Norlnal Distributionmodel.which can be attributed to recognition mechanism of t distribution parameter and DOF variable.We havemeasured that when t distribution parameter falls in（1/2，1） ，there will be a minimum VaR value，when it falls in（-1，ol，there will be a maximum value，which provides basis for distinction degree of VaR.

Keywords：fat tail；debt value at risk；sub-sites；delta-normal distribution

债务是企业获得融资的重要途径之一，2009～2012年问，我国企业债增长了30%，至2012年末，我国企业债已达到65万亿元，占GDP的125%。对比国际经验，当企业债处占比GDP在50%～70%之问时，一国经济才可称之为稳定成熟。由此观之，我同企业债务正处于高风险警戒区。此外，我国企业外债风险管理意识普遍薄弱，实施外债风险管理的企业占比较低，据统计，15.7%的企业进行一定外债风险管理，17.5%的进行较完善的风险管理。在外债风险管理过程中，对金融资产进行风险价值的测度是了解外债风险的基础性工作，而常见的金融风险测度模型都是基于西方发达金融市场实践的产物，这些测度方法和管理策略对于中国正处于不断金融深化的市场环境难免有不适用之处。研究显示，当前中国金融体系存在的区域分布非合理性、市场结构非均衡性、制度非均质性，以及功能结构上的不协调性等缺陷，是引发目前我国债券风险因素多样性、复杂性和波动性加强的主要内生性原因。为了适应这种金融市场环境的异质性，寻找一种匹配中国金融市场特征相似的金融风险测度模型是提高测量准确性的必然选择，也为完善债券风险管理提供一种辅助工具。

1.金融风险测度方法综述

VaR就是假设分布函数在置信水平c下，对应的金融资产或者资产组合可能的风险损失范围。假设金融资产的价值为z，金融资产的风险价值为VaR，那么金融资产的风险概率可以表达成P（z≤VaR）=β，其中β=1-c。而金融资产的价值可以用金融资产收益的线性函数表达，即z=z₀（1+r），因此，可以用金融资产收益代替金融资产价值变量。

综合现有文献以及学者观点，将VaR的测算方法分为4大类：参数法（也称局部估值法）、非参数法、压力测试法以及Copula-VaR法。其中参数法有8种主要的方法：指数平滑法（Exponentially Weigh—ted Moving Average），该方法是根据时间序列的远近赋予不同权重并引入衰减因子，但缺陷是衰减因子难以准确估计，实际中主要通过最小化预测的均方误差（MSE）得到；ARCH和GARCH法，这种方法针对金融数据尾部相对较厚并具备异方差自回归性的金融数据，因此适合对有波动性和相关性的金融时间序列数据进行建模、估值或预测；GJR-GARCH法，该法区别于前几种方法的特征是考虑了信息不对称性，因此相比于GARCH模型精度有所提高；EGARCH法，该法在GARCH法基础上进行改进，因此也称为指数GARCH模型；多元GARCH模型，由于重视回报序列自回归及不同序列之间的相关性且简化处理资产组合的波动性，但因为计算成本高，因此实际中运用不广；CCC模型（Con-stant Conditional Correlation），该模型的特征在于显著减少了待估参数数量，因此在实证研究中非常流行，缺点是相关系数的假定无法得到实际金融数据的支持；DCC模型（Dynamic Conditional Correla～tion），该法可以用于估计大规模的相关系数矩阵，因此在大规模资产组合的估计中较为常用；FlexM法，该法利用范数逼近法减轻多参数的计算量，而且不附加任何约束条件，所以计算成本比其他模型大为减少。

非参数法有2种主流测算方法，一种是历史数据模拟法（Historical Simulation），该法关注极端事件收益率的离散性，不考虑收益率分布特征，对数据的波动性、相关性也没有限定要求，因此降低了参数估计法的风险。另一种是蒙特卡罗模拟法（Monte Carlo Simulation），该法的优点是受到较小的几何条件限制，能对具有随机特征的事物进行逼真的描述，缺点是由于进行模拟的变量需要相互独立，因此技术处理过程比较复杂。压力测试法，这种方法可以通过数学算法反映风险测度模型的有效性以及风险管理流程控制的能力，因此可以防止重大损失事件的出现，是处理极端情况金融序列风险的一种有效工具。Copula-VaR是国内学者柏满迎和孙禄杰在传统测算方法上改进的风险测度模型，由于该法能使线性相关系数被秩相关系数（如Spearman的p系数或者Kendall的T系数）或者尾部相关系数替换，因此尖峰厚尾性质被考虑进来了，因此计算结果也更为准确。

尽管VaR的计算方法多种多样，但由于多数方法都建立在资产收益服从正态分布的假设之上，其目的是为了弱化或者消除金融数据波动性、尖峰厚尾特性和波动集聚的干扰特征，由于“厚尾分布”（fat-tail distribution）特征在条件分布和非条件分布情况下都存在，因此对实际的VaR的计算会产生较强干扰，如果忽视了这种特征，就会造成“尾部风险”的问题。

ARCH假设能通过异方差自回归减弱金融数据的波动性和相关性，但由于没有考虑信息的不对称性而且计算成本高，因此，建立在ARCH假设基础上的参数法在实际中运用并不广泛，而且在计量上仍然存在较大误差。为此，重构ARCH假设并将“厚尾分布”包含的波动性、相关性以及信息不对称性、异方差自回归等性质尽可能多的考虑进模型才能改进VaR模型的精度，从而减低估值的波动，提高模型对复杂数据数据的敏感程度。

2.基于厚尾t分布的风险测度模型

2.1基于厚尾t分布的基本假设

在尾部比较厚的t分布条件下，根据VaR的基本模型和利率变动的风险损失函数，定义以下几个基本变量：借款的时限n（单位：年）；举借外债当年年初固定利率R_N；第K年债务国存贷款的利率R_K（K=1，2，…）。假定尺R_K～t（X-U，V_K），即债务国存贷款利率服从均值为u，以V_K为自由度的随机变量t分布函数。由于存贷款利率的波幅总体平稳，出现非正常波幅的可能性较小，因此可用t分布来解释。由于t分布曲线的形态由自由度决定，而且当自由度越小时，曲线的两侧尾部就越高，曲线中部就越低，t分布曲线形态就越平坦；反过来说，当自由度愈大，t分布曲线就越接近正态分布曲线；当自由度趋近。时，t分布曲线就是标准正态曲线。则，v_k的密度函数可以写成：

2.3债务利率风险价值模型的推导

建立在式（1）引理以及式（7）中分位点结论的基础上，接下来推导举借外债期初以固定利率向外贷款，并在n年内平均摊还且无宽限期的条件下，债务利率风险变动损失函数。为了增强模型的稳定

式中各符号的涵义分别是：Y*（α）为α水平下通过式（7）确定的分位点；“n”代表举借外债的偿还期；“K”代表距离偿债期初的实际偿债时间起点；“π”取值314；L_k代表参数为“L”的T分布。式（10）就是基于期初固定利率的外债利率风险损失函数的测度公式。建立在厚尾部f分布假设基础上的VaR测度方法强调了“尾部风险”的特征，从而减小了金融数据水平之外损失的可能性，因此比原有的测度方法更为准确。鉴此，我们结合一个真实案例来检验该模型的准确程度。

3.模型运用

为了检验模型的适用性和精确度，本章选取了德尔塔——正态分布法和本文模型对同一外债案例进行风险价值的比较测量。选择的案例的发行债务主体是一般性的企业，原因是企业外债占我国外债总额比重逐渐增加，将来很可能发展成为我国债务的主体。从债务环境来看，尽管我国债务总体上处于安全水平，但债务风险管理也是企业财务安全和国家经济安全关注的焦点。本章的结构安排是先概述案例的背景与关键的数据，然后解析出与验证模型相关的信息和数据，再使用德尔塔一正态分布法对日元债务进行风险价值的实证测度，最后使用基于厚尾特征t分布的外债风险价值的方法对同一案例进行测度，以期比较验证2种方法之间的精度差异并定性评述模型的优劣。到随机变量式（5）的方差表达式（9）：

此时，通过式（6）计算出来的左侧临界值Y*（α）和由式（5）、（8）计算出来的zn的方差表达式，可进一步得到在独立但不服从同一参数L的t分布情况下，连续外债举借期内基于固定利率的A个单位银行债务的因为国际利率变动而引起的利率风险损失VaR的表达式（10）：

3.1案例背景

W公司是我国一家大型煤炭企业（为保密起见，不宜列出），其旗下拥有数家子公司并拥有海外子公司，母公司从1992年起开始向日本国际协力银行贷款用以铁路、港口等工程建设，先后一共完成9笔贷款。至2005年，贷款共计900亿日元，后经提款还债，实际贷款余额为700亿日元，贷款类型全部为中长期贷款，贷款利率最低1.8%，最高2.6%。截至2008年，这笔债务余额降至500亿日元，根据债务合同，债务清算截至2021年，最多延长10年。2009年开始，W公司的9笔日元外债贷款全部进入还款期，按照约定，年度本金摊销金额为28.3亿日元。由于ZM公司日元外债是以外币进行计算的，所以面临着国际资本市场汇率和利率变化引起的风险损失可能。此外，历史上日元汇率具有强烈的波动性，这种波动也助长了w公司这笔外债蒙受损失的几率。如果日元汇率中长期内大幅波动，势必使债务成本缩水，进而阻塞还本付息现金流，使账面汇兑损益加剧，从而影响企业的正常经营。

3.2条件分析

案例背景基本符合本文VAR模型的假设：债权主体是国外商业银行或金融机构；债务以外币计算并同时存在汇率和利率变动的双重风险。日元汇率的高风险性有助于检测VaR的适应性和精度；期初贷款利率在1.8%-2.6%之间，受条件假设限制我们取中间值2.2%作为期初固定利率；还款期10～20年，此处也综合考量风险因素，将还款期设定为固定的15年且无宽限期；外债总额设定为423亿日元（28.5×15）；人民币兑换日元汇率取2011-2015的平均值16.44。置信区间设定为99.5%，是因为日元历史上对人民币的波动较大，一般情况下，置信度越高，则VaR值越大。

3.3德尔塔一正态分布法的测度

金融风险的测度中，运用较为广泛的是德尔塔一正态分布法、历史模拟法、蒙特卡罗模拟法。德尔塔一正态分布法属于最稳定的方法之一，该法能适应投资组合收益率稳定、风险周期较长，具有正态分布特征的金融时间序列。鉴于本文的模型就是立足于对历史数据厚尾t分布的假设，为方便比较，考虑使用正态分布法，主要基于以下3方面的考虑：第一，对历史金融数据正态分布的假设减弱了数值波动性以及对隐含的环境因素的影响，导致了一个封闭式的模型条件，这在新模型中得以突破。第二，案例中日元外债的偿还期平均为15年，这在金融风险的管控中属于远期风险控制，由于这个时间段内存在诸多因素会影响到金融资产的收益率，因此作为适用于短期风险测度的正态分布法可以从趋势发展的视角对其复杂的过程进行简化，并具有可操作性。第三，从计算难度和量上说，正态分布法极大的减轻了计算的负担，增加了可操作性。

式（11）就是德尔塔——正态分布法模型的一般表达式。其中：z_a表示标准正态分布下置信度a对应的分位数；σ表示组合收益率标准差；△t表示持有期。将条件分析中的基本数值代入到式（11）中，考虑到远期风险可控度低的特征取置信度a为95%，采用双侧检验方法，则z_a=1.96。本案例只涉及日元外债单项金融资产，因此单项日元外债的组合收益率标准差：

也就是说，423亿日元外债，在小于等于5%的置信区间中，以2.2%期初固定利率持有15年的外债利率风险损失不超过4.45亿元人民币。德尔塔一正态分布法可以大致估测出已有外债大致的风险损失值，但也存在一些问题，首先，模型中假定以期初固定利率作为债务持有期的利率，实际上利率会根据金融市场的变化做出调整，并且不排除可能出现利率大幅波动的可能性；其次，外债总额会随着摊销还款而逐渐减小；再次，作为单项金融资产的投资组合率无法体现资产组合的收益和风险特征。最后，该法更不能处理单项资产数据的厚尾特征，而是代之以投资组合收益率的方法囊括了所有债务利率变化的特征，其结果就是掩盖了风险的波动性。

3.4厚尾t分布的外债风险价值测度模型的评述

本文构建的VAR模型的特征可以归纳为以下方面：一是假设金融时间序列收益服从t分布，这不同于以往服从正态分布的假设，使模型曲线的顶部放低、尾部增厚，因此厚尾分布特征就被考虑进去了。二是原先用历史波动预测未来波动的ARCH（自回归条件异方差）假设条件不适应复杂的交易环境，t分布的假设在预测未来波动性上提高了适应性。此外，基于厚尾t分布的VAR模型内含复杂的伽马函数，该模型需要借助计算机编程迭代算法以求解，因此本节试图寻求通过定性描述的方法估测风险价值并解释模型与各变量之间的关联性。个区间范围内。也即在确定的还款日期、金融资产总额和中分位点一定情况下，t分布参数在（1/2，1）之间时，VAR风险值最小。这就意味着，如果金融时间序列的在具有厚尾特征时且t分布参数取值落在（1/2，1）之间时，VAR风险值最小。另外，置信度取值越小，对应左侧临界值越大；置信度取值越大，对应左侧临界值越小，即当允许置信区间越大时，VAR风险越小。自由度的取值是否落在（-1，1）之间也是影响风险值的关键因素。从以上分析可以看出，t分布的参数和自由度对风险价值的取值产生直接影响，归根结底，是金融数据的分布特征决定着最终风险价值的水平。这也就是说，该模型可以感知金融数据的分布特征，并将这种特征传递到风险价值的取值上，因此具有识别厚尾程度、区分风险等级的功能。

综上所述，与德尔塔——正态分布法相比较，基于厚尾t分布的VAR测度方法赋予了模型识别金融数据的厚尾特征及其形态的功能。t参数在不同的参数取值区间内，t分布函数对应的增减性不同，也就能对金融时间序列的不同的厚尾程度作出相应反应。不同的参数在t分布函数中对应着不同函数增减性质，也就可以在特定的区间内作出极值判断，从这个角度看，基于厚尾t分布的VAR模型具有更灵敏的风险感知。德尔塔——正态分布法则建立在正态分布的假设基础上，因此忽视或掩盖了金融数据的波动性以及尾部特征，从而减少了风险价值在不同参数值区间中的分层的可能性。而相较而言，基于厚尾t分布的方法能提高对金融数据的厚尾形态及程度的感知和识别能力，并根据金融数据的厚尾特征划分出风险等级。在置信度、金融资产总额、还款期条件相同的情况下，该方法利用t分布函数的参数取值来反映金融数据的分布特征，并由此传递出不同的风险等级，可以实现对金融资产的风险价值进行了细致划分的功能。所以，模型相较于德尔塔——正态分布法具备更强的弹性和灵活性，因此理论上其精度也会高于德尔塔——正态分布法。

需要指出的是，德尔塔——正态分布法是建立在正态分布假设基础上的，相比于ARCH（自回归条件异方差）作为风险测度的基本假设，正态分布无法细致考量金融数据的分布特征及厚尾现象，而ARCH却将金融数据的波动性考量进去了。但是，波动性只能衡量金融数据的历史偏离程度，并不能识别厚尾现象，也不能处理和控制这种现象引起的误差，因此从根本上仍然无法提高对历史金融数据的测量精度。基于厚尾t分布的假设是利用t分布函数灵活的自由度取值机制识别出金融数据分布特征并区分风险等级的一种全新探索。

4.结论与展望

随着现实国际金融市场风险因素复杂化和风险性因素的增多，建立在ARCH（自回归条件异方差）假设条件基础上的风险评价模型的灵敏度也相应下降，这是因为传统VaR计算方法大都简化处理金融数据的“厚尾”特性。建立在厚尾特征下的t分布假设则明显减少了因观测值过少或过多引起的严重偏离标准正态分布的可能性。这是因为，厚尾特征下，t分布假设比正态分布假设对金融数据的尾部特征更为敏感。基于于以上考虑，我们用t分布的假设条件代替了ARCH假设，将“厚尾”特征作为改进VaR模型的出发点，将金融数据的波动性控制在模型中，从而实现了识别、反馈和控制厚尾特征金融资产风险的功能。

为检验方法可靠性，引入了中国某企业持有日元外债的案例，初步探究了本模型与传统风险测度模型之间的精度差异。同时，本文使用民营企业主体是考虑到其非政府组织和风险分担体系薄弱的性质，意义有三方面，一是我国企业外债占外汇储备的比重在逐渐增大并且已经具有相当规模（25%），企业逐渐承担外债主体的作用也在加强；二是随着我国企业外债规模的逐年增加，企业外债风险管理的弱势也必将逐步显现，尤其对于拥有大规模长期外债的企业而言，风险可能性将进一步加强；三是加强其代表性。为增强比对效果，本文采用了德尔塔一正态分布法和本文的方法，从结果上看，基于厚尾t分布的VaR模型能反映金融数据的厚尾特征，同时考虑到了数据的波动性，为不同参数区间下的最低风险价值的选择提供了更详细的划分，因此能对不断变化的金融环境做出快速反映，适应性和灵活性更强。

值得注意的是，本文提出的基于厚尾特征t分布的金融资产风险测度模型的计算也是需要建立在计算机迭代算法基础上的，但由于不需要大量历史数据，能对内外部环境压力作出反应，同时兼顾了传统VaR的历史波动预测波动的特征，因此一定意义上作出了有益探索。未来，需要通过计算机编程实现该模型的调整、丰富与运用，以期增强该模型的精度和实用性，为测算我国企业外债的风险价值提供可行的工具和充分的依据。