将“权”关在规定明晰的“笼子”里

朱丰胜

【基金项目】江苏省立项课题——构建农村初中数学生“动”课堂教学模式

学生在第二学段首先接触平均数概念，初步了解平均数的实际意义.在此基础上，苏科版教材九上第三章“数据的集中趋势和离散程度”里在研究数据集中趋势的大背景下，安排学习加权平均数，让学生进一步体会平均数是刻画一组数据集中趋势的重要的统计量，并且理解“权”的意义与作用，通过运用加权平均数解决实际问题，让学生感受数学与自然及人类社会的密切联系.但对权的内涵与外延的表述都不甚明晰.

一、教材解读

在日常的生活中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而很多的“平均”现象并非简单的算术平均.在计算这组数据的平均数时，往往根据其重要程度，分别给每个数据一个“权”，由此求出的平均数叫作加权平均数.“权”的差异性对平均数有着重要的影响，通常我们讨论一组数据的平均数，总是假定每一个数据都是同等重要的，即“权”相等.但是，在实际问题中，有些数据比其他数据更重要，在这种情况下我们需要根据具体的目的通过增加权重来计算平均数，使得到的结果更为合理，更为科学.

一般地，如果在一组数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk重复出现fk次，（f1，f2，…，fk为正整数），则这组数据的平均数：

=

在这个计算平均数的公式中，相同数据x1的个数叫作权，这个“权”含有所占分量轻重的意思，因此也叫作“权重”.

教材在此处安排学习加权平均数，体会权的差异对结果的影响，探索算术平均数和加权平均数的联系和区别，不仅发展了学生的求同和求异的思维，而且通过利用平均数解决实际问题，发展了学生的数学应用能力.

二、一点困惑

《辞海》中关于权的表述为：在统计中，计算平均数等指标时，对各个变量值具有权衡轻重作用的数值叫作“权”. 但对权衡轻重的这个数值是频数还是频率没做具体的说明.

教材99页中一会说“问题1”中的人数10、30、60、50、50分别是天数2、3、4、5、6的“权”，教材100页一会又说“问题2”中的 、 、 分别是采访写作、计算机操作、创意设计成绩的“权”，问题1中的权是某数据出现的次数，即该数据的频数，问题2的权是数据出现的次数占数据总数的比，即该数据的频率. 让人莫衷一是，增加了学生理解和教学的难度. 比如教材101页练习第一题：

小明统计了15天同一时段通过某路口的汽车流量如下 （单位：辆）

求这15天在这个时段通过该路口的汽车平均流量.

在解决这个问题时有学生认为天数2、2、5、6是汽车流量142、145、157、156的权，有学生认为 、 、 、 是汽车流量142、145、157、156的权. 多数教师在教学中要么回避，要么含糊其辞.

加权平均数不同于简单的算术平均数，简单的算术平均数只与数据的大小有关，而加权平均数则还与该组数据的权相关，学生对权的意义和作用的理解会有困难，尤其问题1中的权是该数据的频数，还容易造成学生对数据与权的混淆. 三、我的建议

笔者以为，加权平均数是数学来源于生活、服务生活的具体体现，但何谓“权”，则是一个规定. 作为数学文化传播最重要的渠道——教材，很有必要给“权”一个明晰的规定. 而且在同一问题情境下频数的大小确实可以反映数据的“重要程度”，但在不同背景中，频数相同的数据“重要程度”可能不同，频数不同的数据“重要程度”可能相同，频数大的数据未必就比频数小的数据“重要”. 如数据1，2，2，2，3，3中的数据2的频数是3，数据1，2，2，2，中的数据2的频数也是3，虽然频数相同，但“重要程度”显然不一样. 所以以频数形式规定“权”适用范围狭窄，不具一般性，也不严谨. 若以频率形式规定“权”，前者的权是 ，后者的权是 ，重要程度一目了然，所以频率规定形式具有一般性，因而更为科学.

教材所需做的变动仅是将101页，一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫作“权”. 例如：“问题1”中的人数10、30、60、50、50分别是天数2、3、4、5、6的“权”；

问题2中的 、 、 分别是采访写作、计算机操作、创意设计成绩的“权”.

一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫作“权”. 例如：“问题1”中的

分别是天数2、3、4、5、6的“权”；

问题2中的 、 、 分别是采访写作、计算机操作、创意设计成绩的“权”. 一个简单的变动既明确了一个概念，又减轻了学生的负担，何乐而不为！