大学数学课堂教学中的几个导入技巧与实例

刘海玉

摘要：基于大学数学课程的性质和大学生的认知结构特点，对课堂教学导人的重要性与作用进行了探讨。介绍了大学数学课堂教学的几个导入技巧与教学实例。

关键词：课堂教学；导入技巧；教学实例

中图分类号：G642.1 文献标识码：A 文章编号：2095-7394（2016）02-0105-04

大学数学作为普通高等院校的基础课程，因其概念抽象、理论繁多等特点，常常使学生感到枯燥乏味，提不起学习的兴趣。这一问题的一个重要体现是，大学生在数学课堂上听课不专心，缺乏与教师的交流互动。因此，如何激发大学生学习数学的兴趣与积极性、提高课堂效率，是大学数学教师面临的一大问题。

常言道：“好的开始是成功的一半！”因此，对一堂课来说，课堂教学导入是关系到这堂课成功与否的一个重要环节。将数学概念的背景知识作为课堂教学的导入内容，是一种常用的办法，也是一种方便的办法。因为在大学开设的大部分数学课程中，很多概念都有一些具体的知识背景。比如在“高等数学”这门课程中，很多重要的概念都有相应的几何背景或物理背景。这些具体的问题背景能够使抽象的数学概念变得具体形象起来。因此如果在讲授新的知识点之前，先介绍相关的背景知识，可以在一定程度上激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。然而，这些相关的背景知识虽然针对性强，但内容单一、缺乏新意。因此，仅利用相应的背景知识来引入新的知识点常常是不够的。本文将介绍笔者在多年的大学数学教学实践中总结积累出来的一些有效的新课导入技巧与实例。

1 课堂教学导入

明朝的文人谢榛曾说：“起句当如爆竹，骤响易彻。”意思是指文章开头非常重要，要语出不凡，扣人心弦。不仅写作如此，其实教学也是如此。对一堂优质的课来说，成功有效的课堂教学导入是课堂中的一个重要环节。所谓课堂教学导入是指教师在进行新的教学内容（每节课开始）或新的教学课题时，运用多种方法创设先声夺人、引人入胜的教学情境，来引起学生的注意，激发学生学习的动机，消除学生的认知结构与新知识之间的潜在矛盾，进而把学生顺利地引入到自主性学习的轨道和特定的学习方向上来，使学生由被动的学习转为主动探究、合作学习的一种教学行为方式。如果在教学伊始，教师能够用贴切而精炼的语言，恰当而有效的行为，正确、巧妙地导入新课，那么将对整个课堂教学的成功起到事半功倍的作用。因为优质的课堂教学导入不仅能够激发学生的学习兴趣，为学生学习新知识做好心理准备，还能够使学生明确学习的目标，从而增强学习的效果。

2 课堂教学导入技巧与实例

技巧一：善用生动比喻

用比喻法阐述道理，可以把深奥的道理浅显化，把抽象的事理具体化、形象化，使道理通俗易懂。对于大学数学中很多抽象的原理、概念以及定理，恰当的运用生动的比喻来引入，可以很好的帮助学生去理解。

案例1。在“复变函数与积分变换”这门课程的第一堂课上，笔者的“开场白”是：“同学们，现在假设让你们将一根稻草扔到一条30m宽的河的对岸去，认为能直接扔过去的同学请举手。举手的同学没有几个啊，说明大家觉得此事比较困难。那如果先将这根稻草绑在一块石头上，大家认为可以扔过去吗。哦，大部分的同学都认为可以。说明大家觉得加了块石头，虽然整体变重了，但是反而好扔了。也就是说单单一根相对较轻的稻草反不如加了石头后的稻草好扔，虽然整体变重了。这说明有些事情通过‘化简为繁可能更容易取得成功。接下来我们要学习的“复变函数与积分变换”这门课程的核心内容是两个积分变换。而积分变换的作用，就像绑在稻草上的石头。具体的说就是，在求解一些问题时，比如求解微分方程或积分方程，如果直接求解很困难或者不可能做到，我们便可以利用积分变换将需要求解的方程转换为容易求解或可以求解的新方程。求出的新方程的解就是连同石头一起扔到河对岸去的稻草。我们只需将稻草从石头上取下来便得到我们想要的稻草了。所以为了得到原方程的解，我们只需再利用相应的积分变换的逆变换处理一下便可以了。”

通过扔稻草这样一个简单易懂的实际事例，“复变函数与积分变换”这门课程的目的与作用便被惟妙惟肖的介绍清楚了。学生听的也很认真投入。

案例2。在讲授向量组的极大无关组的概念时，如果先谈一谈颜料中的“红、黄、蓝”三基色的作用，再借此来比喻极大无关组在向量组中的作用，那么极大无关组的作用就不言而喻了。

技巧二：讲述相关故事

教师可以选用与教学内容有关并且启发性较强的故事等材料来导入新课。以此内容为契机，新知识在讲述过程中便被潜移默化地灌输给了学生。这种导课方式，主要是利用学生爱听故事等特点来激发他们的学习兴趣。与数学知识点或数学家有关的故事有很多。从中选取一些既有趣又和授课内容密切相关的小故事来开始一堂课，不失为一种很好的做法。

案例3。笔者在讲授数学期望这一概念时，总喜欢先给学生讲一个故事：“概率论被称为‘赌博起家的理论。概率论产生于十七世纪中叶，是一门比较古老的数学学科。有趣的是，尽管任何一门数学分支的产生与发展都不外乎是生产、科学或数学自身发展的推动，然而概率论的产生，却起始于对赌博的研究。十七世纪中叶，一位赌徒向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼已久的分赌本问题：‘甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。他们约定赌5局，并且谁先赢3局便是赢家，得全部赌本。当甲赢了2局，乙赢了1局时因故终止赌博，问应当如何分赌本？对于这个问题，首先大家认识到：平均分对甲不公平，全部归甲对乙不公平。合理的分法是按一定的比例来分。于是问题的焦点是按怎样的比例来分。以下有两种分法：（1）基于已赌局数，甲得100法郎的2/3，乙得100法郎的1/3；（2）1654年法国数学家帕斯卡同费马讨论后提出如下分法：设想再赌下去，不外乎以下四种情形之一：（赢的情况）甲甲，甲乙，乙甲，乙乙。因为赌技相同，所以再赌下去甲有3/4的可能性赢得赌局，而乙只有1/4的可能性赢得赌局。综上分析，所以帕斯卡认为甲的期望所得为3/4×100=75，即甲得75法郎，乙得25法郎。这种分法既考虑了已赌局数，也包括了对再赌下去的一种‘期望。显然第二种分法更为合理。这就是概率论的第一基本概念，也是我们这节课将要学习的内容——数学期望的由来。”

这个故事不仅生动有趣，更是与新课内容有紧密的联系，可以很好的启发学生。

技巧三：巧妙激疑铺垫

根据新课内容，教师课前设计好与新课相关的问题。通过设问，自问自答，或者提问，由学生回答，也是一种简便易行的导课方法。需要注意的是，所提的问题要对正文内容有铺垫引导作用，切不可为了问而问。

案例4。很多教材在介绍定积分的概念时，都是直接将计算曲边梯形面积的问题作为背景，而并没有介绍为什么要计算曲边梯形的面积。这往往会令学生觉得很突兀。所以笔者通常在讲述定积分的概念之前，都会先作一些铺垫来说明为何要计算曲边梯形的面积。也就是说明计算曲边梯形的面积对于计算一般的平面图形的面积有什么作用。具体细节是：

“平面图形的面积计算一直是数学中一类重要的问题。大家在初等几何中已经会计算很多平面图形的面积。有矩形的面积，三角形的面积，圆面的面积等。不知大家考虑过没有，其实在初等几何中，除了圆面的面积计算问题，只是解决了直边形（由直线段围成的图形）的面积计算问题。并且，其实只要会计算三角形的面积，那么所有平面直边形的面积计算问题就都解决了。现在大家考虑一下，对于由一般的曲线所围成的平面图形（通常称为曲边形）的面积计算，是否也可以归纳为某一类平面图形的面积计算问题呢？答案是肯定的！那就是曲边梯形！也就是说只要解决了曲边梯形的面积计算问题，那么所有平面曲边形的面积计算问题也就解决了。”

技巧四：穿插趣味例题

根据课堂要讲授的内容，教师可以精心设计一些有趣的问题，以引起学生的好奇心和求知欲。使学生的求知欲由潜伏状态转入活跃状态，进而调动学生积极性与主动性。

案例5。为了导入方向导数与梯度这一节课，笔者通常都是从下面的一个问题开始的：

“一块长方形的金属板受热产生温度分布场。设一只小虫在板中逃生至某处。问该虫应沿什么方向爬行才能最快到达凉快的地点？”

这个问题能很好的引起学生的好奇心。笔者紧接着又告诉学生，只要学习完方向导数与梯度这两个概念以及二者之间的关系以后，就可以解决这个问题了。

实际效果表明，以这种可以引发学生兴趣的问题作为课堂教学的开头，能够很好地调动学生学习新知识的积极性。教学效果自然很好。

技巧五：灵活使用“比较”

所谓比较导人法，就是根据新旧知识的联系点、相似点，采用比较的方法导入新课。既可以同类比较，也可以正反对比。

案例6。笔者在讲授随机变量这一概念时，总是这样开头的：“大家都知道笛卡儿创立的坐标几何学（后被人们称为解析几何），是连接代数学与几何学的一座桥梁。它将‘数和‘形紧密地联系在了一起。一方面，平面上任何一个点都可以用一对实数来表示它所在的位置；另一方面，任何一对实数也可用一个平面上的点来表示。这样一来图形和位置关系的研究就可以通过曲线方程将其转化为对数量关系和计算问题的研究。类似的，为了更好的研究随机事件的概率，我们在样本点与实数域或实数域的子集之间建立起了一个一一对应关系，并把这种对应关系称为随机变量。其实随机变量与数学分析中函数的概念本质上也是一致的。只不过函数心的自变量x为实数，而随机变量ξ（ω）的自变量为样本点ω，定义域是样本空间，值域是实数域或实数域的子集。”

技巧六：时常“温故知新”

心理学告诉我们，那些与一个人已有知识有联系的事物容易引起这个人的注意。所以通过恰到好处的复习归纳与新课内容关系密切的旧知识来引入新课，有利于学生接受新知识。这种导人方法在很多学科的教学中都可以使用。尤其是数学这门学科，其知识点都是一环紧扣一环，所以上课时更要善用该法。

案例7。在“高等数学”这门课程中，多元函数的微积分学与一元函数的微积分学之间有着不可分割的联系。在讲授到多元函数的微积分学的章节时，这种温故知新的导入法，可以说几乎每一堂课都可以使用。就拿“全微分”这部分内容来说，笔者是这样开始新课的：“大家都知道一元函数的微分是当自变量的增量很小时函数值增量的一个线性近似值。而且这种近似的误差是当自变量的增量趋于零时自变量增量的高阶无穷小。对于多元函数来说，当其所有自变量均取得了很小的增量时，当然相应的函数值也取得了一个增量，也就是全增量。如果全增量计算比较困难，类似于一元函数的微分，我们也可以用多元函数的自变量增量的一个线性函数来近似全增量，那就是全微分。令人高兴的是，不仅全微分的作用与一元函数的微分类似，实际上无论二者的定义还是计算方法都是极其相似的。下面我们就一起来揭开其神秘的面纱吧。”

这种导入方法不仅使学生复习掌握了旧的基础知识，而且使学生对将要学习的新知识有了一个大概的认识。这样学生就不会对新知识产生排斥心理，从而很轻松地就从已知的领域进入到未知的新境界。需要注意的是，在使用这种方法时，复习要提纲挈领，切不可把细枝末节的东西都翻出来过一遍，以免学生生厌。

3 结语

导课的方式方法灵活多样。正所谓：“教学有法，但无定法，贵在得法。”导课的根本目的是通过各种方法把学生的注意力吸引到课堂上来。在教学过程中，我们要根据学生的特点，结合授课的内容，灵活地选取、设计导课的方法、内容。不过，无论采用何种方法，导入语都要对授课内容有较强的针对性和启发性。同时因为导入语只是授课内容的一个引子，所以要短小精湛、新颖有趣，断不可平淡冗长、喧宾夺主。

责任编辑 祁秀春