型极限的求法

林美娟

摘要： 型极限是微积分学中最为常见的极限，是待定型极限，不能直接用极限的四则运算法则求出.根据函数的结构特征，可以用以下方法简捷地求出 型极限：利用有理化或约分把待定型极限转化为确定型的极限来求；将所求极限看成函数在某点的导数，然后利用导数的定义求得；利用无穷小量的等价替换或洛必达法则简化计算过程后求得.

关键词： 型极限 无穷小量 计算

中图分类号：O17 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2016）08（b）-0000-00

函数的极限可以分为两大类：待定型和确定型. 型极限是指分子、分母均为无穷小量的函数的极限，是待定型极限，不能直接用四则运算法则来计算.这类极限的计算贯穿于微积分学的教学过程之中，如何简捷地求出这类极限是每个师生所关心的问题.对于这种类型的极限，可以根据函数的结构来选用计算方法.常用的计算方法有下面四种.

1.利用有理化或约分转化极限类型

函数极限的四则运算法则给出了求函数极限最基本的方法，而 型极限是不具备函数极限四则运算法则要求的，不能直接利用函数极限的四则运算法则来计算.对于函数是有理函数的 型极限可以将分子或分母因式分解后约去零因式，然后转化为可以用函数极限的四则运算法则计算的极限.对于极限是 型的无理函数可以将分母或分子有理化后约去零因式再用函数极限的四则运算法则计算其极限.

2.利用导数的定义揭示极限意义

函数在某点的导数其实就是当自变数的改变量趋向于零时，相应函数的改变量与自变数改变量之比的极限，显然是一个 型极限.可见，有的 型极也可以看成或转化为函数在某点的导数，然后利用导数的定义来求.

3.利用无穷小量的等价替换优化计算

型极限的函数的分子、分母都是无穷小量，对于较为复杂的无穷小量用与其等价且简单的无穷小量去替换，可以优化计算过程.

常用的等价无穷小量有：当 时， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， ～ ， -1～ .

在替换的时候必须保证替换后的分子和分母与原来的分子分母等价，不能只考虑局部等价，要求整体等价.

4.利用洛必达法则简化计算

洛必达法则是计算待定型极限的有力武器.对于符合洛必达法则条件的 型极限可以用洛必达法则计算.如果应用洛必达法则后得到的极限还是 型，只要仍满足洛必达法则的条件，那么可以继续使用洛必达法则.

在求 型极限的过程中，要尽可能地将函数的分子分母化为几个因式之积的形式，可以约分的先约分，极限不为零的因式直接求出，这样可以化简函数的形式.同时还要灵活、综合地运用相关方法来优化计算过程.例如，在求极限 时，先用洛必达法则可得到 ，还是 型极限.如果不化简，再用洛必达法则计算，函数会变得比较复杂.这时，可以先求出 的极限值，这样就可以得到 ，从而使函数得以简化.最后可用无穷小量等价替换求得极限.

参考文献

[1]刘玉琏.数学分析讲义（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008，4.

[2]费定晖等.数学分析习题集题解[M].山东：山东科学技术出版社，1980，2.

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