高等数学中证明不等式的若干种方法

王云霞

【摘要】 不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在初等数学中已做过很多的研究，比如：换元法（增量换元法、三角换元法、比值换元法等），构造法（构造对偶式模型、构造函数模型、构造二次函数模型等），放缩法（去掉式子中的某些项放缩、应用常用不等式放缩、适当放大或缩小某些项等）等等. 本文主要介绍高等数学中不等式的证明的六种方法：利用拉格朗日中值定理证明不等式、利用泰勒定理证明不等式、利用单调性证明不等式、利用极值和最大（小）值证明、利用函数的凹凸性进行不等式的证明以及涉及累次积分的不等式的证明.利用函数的各种特性来证明不等式，使不等式的证明更具普遍性和一般性.

【关键词】 拉格朗日中值定理；泰勒定理；单调性； 极值；凹凸性

在高等数学及其应用中，不等式的证明是一个比较复杂的问题，形式太多也就相应的方法很多，但如果找到一种行之有效的方法将会达到一个事半功倍的效果，本文将介绍六种常见的方法：

一、利用拉格朗日中值定理证明不等式

利用拉格朗日中值定理可证明联合不等式，步骤为：

（1）从中间表达式确定出f（x）及区间[a，b]；

（2）验证f（x）在[a，b]满足拉格朗日中值定理条件，得

二、利用泰勒定理证明不等式

如果已知函数的高阶导数存在，则往往可以考虑通过考虑泰勒公式将函数展开来进行证明.

三、利用单调性证明不等式

该方法适用于某区间成立的不等式，数字不等式通常是通过做辅助函数来完成，步骤为：

（1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式的一端为“0”，另一端即为所求作的辅助函数f（x）；

（2）求f′（x），并验证f（x）在指定区间的增减性（有时需求f ″（x），f ′″（x）才能判别f（x）在指定区间的增减性）；

（3）求出区间端点的函数值（或极限值），做出比较即得所证.

例3 设x > 0，常数a > e，证明（a + x）a < aa+x

不等式的证明方法除了上述之外还有很多，大家在学习的过程中可以进一步补充.

【参考文献】

[1]刘书田.高等数学[M].北京：北京大学出版社，2001.

[2]侯风波.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]赵树嫄.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，2007.

[4]陈传璋，金福，朱学炎，欧阳光中.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1983.