为什么不是1/38

方灶娣

最近参加一次人教版《分数的意义》的教学研讨，其中一个教学环节引起我的思考，现以课堂实录与大家交流探讨。

课堂回放：教师顺利地引导学生分“单个物体”得出：把一个饼平均分成2份，其中一份就是这个饼的1/2；把一个长方形平均分成6份，其中的一份就是这个长方形的1/6。

这时，教师话锋一转，把手放在一个叫汪思泽的同学身上。说：“刚才我们找到了二分之一，六分之一。你能不能说一说汪思泽是几分之一？”

迟疑了片刻后，一个孩子举手发言“老师，我们班有38个人，把我们班平均分成38份，汪思泽是其中一份，所以他是我们班的1/38。”

教师正想肯定这个孩子的观点，课堂中却出现了别样的声音——“不对，汪思泽不是我们班的1/38！”“我认为也不是！”——（很多同学附和）

“为什么不是？”老师好奇地问。（显然学生的疑问超出了他的预期）

“因为得到分数一定要平均分的，我们38个人身高体重都不一样，所以他不是平均分的结果，也就不是1/38。”这个孩子振振有词的回答。

“对，没有平均分，所以不是1/38”学生们纷纷表示赞同。

老师一下子愣住了，稍后“机智”地引导“那如果，我们全班的同学都和汪思泽一样呢？那他是1/38吗？”

“那就是了！”学生都一致说。

“好的，那我们就把大家都看成是汪思泽吧，现在可以这么说：把38个人平均分成38份，其中一份就是这个整体的1/38。”

“老师，应该是把38个汪思泽平均分成38份，其中一个才是1/38。”

“怎么会有这么多汪思泽啊？”

“哈哈哈”教室里爆发出学生欢快的笑声和教师无奈“呵呵”声……

课后谈话：课后，我拉住旁边的两个孩子聊：“我们三个人，我——能不能说是咱们三个人的三分之一？”两个孩子对视了一下说“不能，你比我们年纪要大。不是平均分成三份，所以不是1/3。”“哦，这样，那如果老师和你们一样大呢？”“哈哈，那也不是。”“啊，你怎么想的？”“因为，你比我们体重要重，身高要高，还是没有平均分啊，怎么会有分数？！”“哦，那老师要怎么样才是咱们三个人的三分之一呢？”“那……除非我们三个人是一样的，哈哈！”孩子们边说边笑着走开了……

一、问题源于何处？——不同视角，预设≠生成

无论从课堂中学生的表现还是课后的访谈，毫无疑问地指向同一关键：平均分。可见，分数概念在学生的认知结构中，“平均分”是最为本质核心，又易提取的显性表征，而这也是教师在教学“分数初步认识”的时候所反复、重点强化的结果。

数学学习是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在上述学习过程中，教师着眼于“把全班同学看作一个整体”意图引导学生“把学生刻画为数，通过对‘数的平均分，抽象概括，形成分数的概念”。而在学生思考中，“平均分”又意味着什么？不难发现，他们关注的是“外形的大小，重量的轻重，年龄的大小”等一系列直观、可视的感性表征。在他们的思维中，“平均分”等于“一样大小，同样轻重”。而汪思泽无论是年龄、身高、体重在全班同学中都不会是恰好平均分成38份的结果。所以，孩子们异口同声而又振振有词的“汪思泽不是1/38”虽在意料之外，实则情理之中。

二、如何改进设计？——超越经验，理性>感性

感性经验是学生进行学习的应然基础，学生的经验——平均分产生分数，提供了他们形成分数意义概念的基础。但是平均分并不能代替概念的全部。如果不能引导孩子们对自身已有的感性经验进行理性的再思考，那么经验最终只能是经验。因此，要真正理解分数的意义，不但要借助经验，而且还理应超越经验。

所以，教师在教学“把多个物体看作一个整体”“把这个整体平均分成若干份”时，要特别注意引入变式，即创设“不同外观，不同大小但有共同属性的教学素材”看作一个整体。如新课后的做一做（图一）“12颗不同品种的糖，4颗白的，4颗花的，4颗黄色的，任意平均分成4份，其中一份都占总数的1/4”让学生明白颜色、外观、糖的品种并不影响平均分得到1/4这个分数。再如，练习十一的第三题（图二）。通过这样的变式引导，让学生体会平均分的更深层次的含义——即平均分的实质不是指各部分之间的外观、形状、大小完全一致（特别是等分多个实物时，可能每份数会有“形”的区别，如苹果的大小等），而是在一个整体中，他们的地位相同，或者刻画成“数”时，“量”的多少相一致。有如此类教学作铺垫，然后，引入全班同学的座位表图，利用课件转换成38个点。引导孩子思考“每个点代表我们班的一个人，汪思哲就是其中的1/38”。利用图形建立具体事物与量之间的联系，实现“物”向“数”的转变。让学生感悟全班虽然有38个不同年龄、体重、身高的同学，但是从“数”的角度而言，每个人都代表“一个人”的量，都是38份中的其中一份，也就是1/38，所以汪思泽理所当然是1/38。

而这种对“平均分”的理性数学认识，其实质是孩子对自己学习经验的一种超越和原有知识的重新建构。

三、有何思考与启示？——教学理解，教材+生本

教材中引导学生理解“把一些物体看作整体”的教学素材如下图三。

很多教师认为，分数意义教学应该从分实物入手，因为实物是形象的、具体的，而用几何图形表征则是抽象的，学习总是从形象抵达抽象，教材是如此编排的，这位教师也是在“读懂”教材，联系学生的生活基础上如此进行教学。

而我们不得不思考的是：在教学中永远有两条看不见的线，其一是教师心中预设的线，其二是学生思维进程中的线。教学中诸多预设外的生成就在于这两条线没有有机整合，没有贴合为一条线。教学中的生成超出预设，实则是教师没有读懂学生的思维。

我们不妨从学生的理解角度思考，实物由于外形、大小等夹杂着很多非本质的因素，往往成了干扰学生学习的拦路虎。正是选择分“不恰当”的实物入手对学生理解分数的意义造成了更多的认知障碍。事实上，由于图形摒弃了一些非本质属性，孩子有时反而更容易理解。因此，不妨从分简单的图形开始，如把“4个三角形，8个圆看作一个整体”而后再引入“外形同样的实物——如分书”，进而导入变式如“分同质不同形的糖果——图一”和“班级的点阵图”。从而真正实现教师预设的线与学生的思维线合二为一。

由此看来，教师对教学的“理解”其实质是“对教材的理解+对学生的理解”。教学中既要研究如何“教”，更要研究如何“学”；既要分析“教材”，更应着力于挖掘好的“学材”；既要基于学生经验，更需超越学生经验。如此教学，才能真正实现以学论教，顺学而导。

（作者单位：浙江省诸暨市陶朱街道三益小学）