十维三次混沌系统及其在信号加密中的应用

朱博 高亮 朱建良

摘 要： 为了产生更为复杂的混沌吸引子，提出了一个十维三次混沌系统。通过Lyapunov指数分析，证明了该系统混沌吸引子的存在。为了验证系统的可实现性，设计了相应的实现电路，结果表明，电路仿真与系统仿真的结果完全一致。最后将系统应用于信号加密，收到了满意的效果。为保密通信和信息加密等基于混沌的实际应用提供了新的混沌信号源。

关键词： 十维混沌系统； 仿真； 电路实现； 信号加密

中图分类号： O 415.5，TM 132 文献标志码： A 文章编号： 1671-2153（2016）03-0078-05

0 引 言

随着信息技术的迅速发展，人们对信息的安全存储和传输的要求也越来越高。混沌信号因其具有非周期、连续宽频带、类噪声以及长期不可预测等特点，特别适合于信息加密通信等各个领域。

目前，低维混沌的理论和方法已在诸多领域有了成功的应用，但随着研究的进一步深入，发现高维混沌系统具有更为复杂的动力学行为，更好的随机性和不可预测性，将高维混沌系统用于保密通信、图像加密、文本加密和语音加密等领域中，将会具有更大的密钥空间和更高的安全性。所以，研究高维混沌系统的数学模型及其实现电路具有重要的理论和实际应用价值[1-3]。

本文提出了一个十维三次混沌系统，具有较大的Lyapunov指数和更为复杂的动力学行为。并设计了相应的实现电路，系统的Matalab仿真结果与所设计电路的Mutisim仿真结果完全一致，验证了系统的可实现性。最后应用十维三次混沌系统进行了信号加密，收到了满意的结果。

1 十维三次混沌系统的数学模型

由式（3）可以看出，包含系统运动轨线的每个体积元都将以指数率e-95t收敛，它的渐近动力学行为最终会被限制在一个固定点上。这说明十维三次混沌系统的混沌吸引子是存在的。

Lyapunov指数是表征某一系统是否处于混沌状态的一个重要定量指标，系统是否存在着非线性混沌动力学行为，可以从其最大的Lyapunov指数是否大于零而非常直观的判断出来：系统只要有一个正的Lyapunov指数，就说明在系统的相空间中，无论两条相轨迹线的初始间距多么小，其差别都将会随着时间的演化而成指数率的增加最终导致无法预测，这就是混沌现象。正的Lyapunov指数越大，说明系统的混沌动力学特性越复杂以及更加难以预测。

对十维三次混沌系统进行Lyapunov指数分析，计算结果如图1所示。

其中：LE1=1.29384，LE2=0，LE3=-2.01961，LE4=-6.57374， LE5=-9.66362， LE6=-11.1757，LE7=-13.0704， LE8=-16.0464， LE9=-18.2757，LE10=-20.4586；可见系统处于混沌状态，而且具有较为复杂的混沌动力学特性。

2 十维三次混沌系统的Matalab仿真结果

对十维三次混沌系统进行Matalab仿真，结果显示该系统存在所有的二维和三维混沌吸引子，其中部分吸引子如图2所示。

3 十维三次混沌系统的电路设计与仿真结果

十维三次系统的实现电路如图3所示。该电路由10路通道组成，每一个通道对应一个变量x；每一通道电路由乘法器、反相加法比例运算器、反相积分器和反相器组成；反相加法比例运算器中的比例系数与系统方程系数一一对应，其中乘法器可由两个模拟乘法器元件AD633组合实现[5-7]。

对所设计的电路，做Mutisim电路仿真运算，结果显示出该电路存在所有的二维混沌吸引子，而且与系统的Matalab仿真结果完全一致。其中部分吸引子如图4所示。

4 基于十维三次混沌系统的信号加密

混沌信号加密就是对原始信号采用混沌信号掩盖，利用混沌掩盖技术可以传输数字信号和模拟信号，其基本思想是以混沌同步信号为基础，把需要加密的信号叠加到混沌信号上，达到信号保密传输的目的[8-9]。

信号解密的基本原理就是将与发射端自相同步的混沌信号解调装置放置在信号传输系统的接收端，将隐藏的混沌信号从接收到的信号中去掉，还原为原始信号，从而实现信号的解密。

图5为信号加密的仿真模型。图5（a）为1次信号迭加加密仿真模型；图5（b）为待传输的方波信号；图5（c）为方波信号经过1次迭代加密后已经失去原有特点变得无法辨认。由图5（d）可以看出，原始方波信号在经过十维三次混沌系统多次加密后发生了更大程度的改变，已经无法被识别出来，确保了信号在传输过程中的安全。

信号的解密过程就是信号加密的逆过程，只有知道原始混沌源和加密的相加减方式以及相应的迭代次数才能进行信号的解密，否则将无法破译，如图6所示。

如果把原始混沌信号源的各个混沌信号乘以某一倍数，以及相加减方式和迭代次数设置为密钥将会大大增加解密难度，将会更加提高信号传输的安全性[10]。

5 结 论

本文提出了一个十维三次混沌系统以及相应的硬件实现电路，通过Lyapunov指数分析及系统仿真，得出如下结论：

（1）十维三次混沌系统具有较大的Lyapunov指数和更为复杂的动力学行为。系统的MATLAB仿真结果与相应的实现电路的MULTISIM仿真结果完全一致，证明了该系统的可实现性。

（2）所设计的电路结构对称简单，容易实现和调试。

（3）利用十维三次混沌系统对方波信号进行加密、解密，得到了满意的结论，说明了该系统的可应用性。

随着混沌研究的进一步深入，设计并构造出新的更高维数的混沌系统以及相应的硬件实现电路，必将成为混沌理论和应用研究的一个方向。

参考文献：

[1] ZHU J L，ZHAO H C.Five-Dimensional Chaotic System and Its Circuitry mplementation[C]. 2nd International Congress on Image and Signal Processing，Tianjin，2009：4232-4236.

[2] ZHU J L，ZHANG D Q. Eight Dimension Seven-order Hyperchaotic System and Its Circuit Implementation [J]. IEEE International Conference on Measurement， Information and Control，2013：950-954.

[3] 禹思敏，丘水生，罗伟民. 混沌通信的研究进展与综合评述[J]. 桂林电子工业学院学报：2000，20（1）：56-72.

[4] 王繁珍，齐国元，陈增强. 一个四翼混沌吸引子[J]. 物理学报，2007，56（6）：3137-3144.

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[6] 王光义，丘水生，许志益. 一个新的三维二次混沌系统及其电路实现[J]. 物理学报，2006，55（7）：3295-3300.

[7] 聂典. Multisim9计算机仿真在电子电路中的应用[M]. 电子工业出版社，2007：1-50.

[8] 张博亚，张大庆，朱建良. 七维四次超混沌系统及其在信号加密中的应用[J]. 自动化技术与应用，2013，32（11）：56-60.

[9] 张大庆，朱建良. 六维三次超混沌系统及其在图像家加密的应用[J]. 宁波职业技术学院学报，2013，17（4）：79-82.

[10] 李昌刚，韩正之，张浩然. 一种随机密钥及“类标准映射”的图像加密[J]. 计算机学报，2003，26（4）：465-470.

Abstract： In order to produce a more complex chaotic attractors， we presented a ten-dimensional three-order chaotic system. It has been proved that the system is chaotic attractors existence by Lyapunov exponent analysis. In order to verify that the system can be realized， in this paper， a corresponded circuit has been designed to implement it and the result of circuit simulation and system simulation was exactly same. Finally， applying the system to signal encryption and have received a satisfied result. This provides a new signal source of confidential communications and information encryption based on chaos practical application.

Keywords： 10-D chaos system； simulation； circuit implementation； signal encryption

（责任编辑：徐兴华）