相干态在量子相空间中二维正态分布

李海英, 赵建英

(1. 内蒙古师范大学 数学系， 内蒙古 呼和浩特 010022;2. 内蒙古商贸职业学院 社科与基础教学部, 内蒙古 呼和浩特 010070)



相干态在量子相空间中二维正态分布

李海英1,2, 赵建英2

(1. 内蒙古师范大学 数学系， 内蒙古 呼和浩特 010022;2. 内蒙古商贸职业学院 社科与基础教学部, 内蒙古 呼和浩特 010070)

摘要：将数理统计中的正态分布与物理学中的量子力学不确定性有效结合，通过二维正态分布密度函数和有序算符内的积分技术，简单有效地求得量子空间中粒子坐标|x〉，动量本征态|p〉及相干态|z〉在 Fock 表象中的表达式，并证明其完备性.结果表明：通过采用数理统计及正规乘积方法，求证结果准确，且大大简化了求证过程.

关键词：正态分布; 量子空间; 相干态; 分布密度; 正规乘积

德国物理学家海森堡通过矩阵、正则变换、算符等数学语言创建算符与矩阵的关系式，提出物质系统的光谱关系式、海森堡对易关系式、测不准关系式、海森堡的矩阵力学方程等,以及数学化的矩阵力学理论阐述微观世界的本质.利用具有统计性质的几率密度描述量子在空间中的运动情况，量子的粒子状态则采用波函数描写.通过宏观的轨道参数方程无法判定量子某一时刻是出现在A点或是B点，只能通过波函数测算量子出现在空间中某一点的概率，微观粒子无固定轨道运动.数学方法在科学技术中的应用已有很多报道[1].本文根据微观粒子的不确定性(统计性质)与数学概率统计中概率密度函数的相似性，利用二维正态分布的概率密度函数研究粒子的运动状态.

1一维正态分布

一维随机变量X的密度函数为

(1)

式(1)中:μ,σ均为常数，若σ>0，则变量X服从常数μ,σ的正态分布.

2二维正态分布

如果二维随机变量(X,Y)联合分布函数为F(x,y)，当f(x,y)≥0时，对任意实数x,y都满足

(2)

函数f(x,y)是二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度或分布密度，如果其概率密度满足

(3)

则二维随机变量(X,Y)的概率密度为

(4)

式(4)中:σ1,σ2,u1,u2,ρ均为已知参数，如果σ1>0,σ2>0，-1<ρ<1，则二维随机变量(X,Y)服从参数σ1,σ2,u1,u2的二维正态分布.当x,y,u1,u2的物理意义确定后，同样可采用量子力学中的算符代替.

3正规乘积

正规乘积的以上性质可简化量子力学算符符号的积分运算，即正规乘积内的积分技术.

4坐标和动量表象

狄拉克最早把“表象”引入量子力学中，表象主要描述在不同坐标系下，体系的状态和力学量的具体表示形式[3].他把系统状态的波函数看成抽象空间中的态矢量在某个表象中的表示，力学量的本征函数即此空间的一组基矢，完备性是基矢成为表象的必要条件.

设Q,P分别为量子力学中坐标表象的坐标算符和动量表象的动量，Q,P本征态分别为|x〉和|p〉.由狄拉克符合表示方法，有

(5)

(6)

式(6)中:h为普朗克常数，引用Q,P的湮灭算符a和产生算符a+，a和a+满足厄米共扼关系，一维谐振子的哈密顿量[4]为

(7)

由式(7)可知:a，a+满足

(8)

根据式(8)，可得

(9)

(10)

再根据正规乘积性质和∶exp(-a+a)∶=|0〉〈0|，有

(11)

令

(12)

则式(12)改写为

(13)

同理可证

(14)

式(13)，(14)是坐标及动量本征态在Fock表象中的形式.在理论物理中，如果任意物理量A的算符A′作用在描述微观体系状态的某一状态函数φ上，等于常数a乘以φ，即A′φ=aφ.则物理量A具有的确定数值a称为物理量算符A′的本征值，φ称为算符A′的本征态或本征函数. 由式(13)，(14)可知：f(x,p)=|x〉〈x||p〉〈p|，由量子力学中量子状态的完备性,可得

(15)

5相干态表象

湮灭算符的本征态为|z〉相干态，复数z则为本征值[6-11].取σ1=1,σ2=1,ρ=0，则式(10)变为

(16)

根据正规乘积性质和∶exp(-a+a)∶=|0〉〈0|，联合式(9)，(16)，有

(17)

(18)

(19)

6结束语

在量子力学中阐述粒子状态是建立在几率的基础上，通过数学中概率统计特性，将量子空间中的粒子状态与概率统计有效地结合，利用概率统计中的连续型二维正态分布密度函数，推导出量子力学中的坐标表象、动量表象和相干态表象在Fock表象中的关系式.同时，简捷地证明了其完备性.此方法不仅简单、新颖、有效地简化了推导过程，且很好地把数学方法应用于量子力学基本表象.

参考文献：

[1]杨金勇.一类非线性比式和问题的分支定界算法[J].华侨大学学报(自然科学版),2015，35(3)：14-16.

[2]WICKG.Quantumphasespacetheorybasedonintermediatecoordinate-momentumrepresentation[J].PhysRev,1950，80：131-138.

[3]DIRACPAM.Theprinciplesofquantummechanics[J].PhysLettB,1930，72：38-41.

[4]DIRACPAM.量子力学原理[M].4 版.陈咸享，译.北京:科学出版社,2010：61-89.

[5]范洪义.量子力学表象与变换论[M].上海:上海科学技术出版社,1997：97-181.

[6]曾谨言.量子力学(卷Ⅰ)[M].4 版.北京:科学出版社，2000：91-148.

[7]KLAUDERJR,SKARGERSTAMBS.Coherentstatesworldscientific[J].JSedimentRes,1985,23(7):67-69.

[8]范洪义.相干态在参数量子相空间的两维正态分布[J].物理学报，2014,63(2):15-20.doi:10.7498/aps.63.020302.

[9]GLAUBERRJ.Thephilosophyofquantummechanics[J].PhysRev,1963,131(29):2766-2769.

[10]DIRAC P A M.Recollections of an exciting area, history of 20th century physics[M].New York:Academic Press,1977：59-102.

[11]CHEN Lin.Sources of quantum mechanics[J].Math J Phys,1966,23(7):781-785.

(责任编辑： 钱筠英文审校： 黄心中)

Two Variable Normal Distribution of Coherent States in Quantum Space

LI Haiying1.2, ZHAO Jianying2

(1. Mathematical School, Inner Mongolia Normal University, Hohhot 010022, China;2. Department of Social Sinence and Basic teaching, Inner Mongolia Business and Trade College， Hohhot 010070， China)

Abstract：Normal distribution in mathematical statistics and the uncertainty of quantum mechanics in physics are effectively combined, by two dimensional normal distribution density function and orderly operator of integral technology, simple quantum particle in the space coordinate |x〉, momentum intrinsic state |p〉 and coherent state |z〉expression in Fock representation are obtained effectively, and its completeness is also proved. By using mathematical statistics and normal product method, we show that the obtained result is not only accurate but also greatly simplifies the process of verification.

Keywords：normal distribution; puantum space; coherent state; density function; normal product

中图分类号：O 211.3; O 413.1

文献标志码：A

基金项目：内蒙古自治区高等学校科学研究基金资助项目(NJZY16399)； 中国教育学会“十一五”科研规划重点基金资助项目(ZY0084)

通信作者：李海英(1968-)，女，副教授，主要从事高等数学的研究.E-mail:sunjinpo838@163.com.

收稿日期：2016-03-03

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.03.0391

文章编号：1000-5013(2016)03-0391-04