小学数学计算教学算理的结构分析及教学策略

蒋敏杰

（常州市局前街小学，江苏 常州 213003）

计算是学生数学素养中最基本的技能和最基本的素质，在学生数学学习中占有重要的地位，甚至有人将其与思维并称为“数学的本质”。德国教育学家赫尔巴特说：“所有比较确定的知识，都必须从计算开始。”在小学阶段，运算能力（技能）的形成，主要通过“理解算理”“构造算法”“解决问题”三个层面，体现在整数、小数和分数的口算和笔算中。其过程发展体现两个显著特点：一是集中学习与综合应用相融合，“理解算理”“构造算法”的过程经验成为学生初步应用数学的方式，是理解、分析、解决现实（数学）问题的基础；二是“理解算理”与“构造算法”的螺旋交互，学生运算技能的形成，一般均经历从算理直观到算法抽象的过程，由解决具体问题的方法内化，实现对计算技能、内容本质的内涵理解，同步形成丰富运算建模的方式及一般方法，为后续数学认知及基本思想方法的形成奠定基础。

新课程推进以来，数学教师对于运算能力提升的认识，经历了简单“算法”、技能“训练”向“算理”“算法”协同发展的教学思维转变，教学研究的侧重点同步聚焦在“算法”与“算理”的融合，力图讲清“算理”，还原形式化“算法”的本质。但具体运算的“算理”是什么？如何“讲清”“算理”？“算理”与“算法”如何螺旋交互，如何综合地体现于具体的计算学习过程……一系列的问题也是现实中困扰一线教师的现实问题，思考不清、定位不准、方式不活，使得有些时候计算教学仍停滞于具体计算的“技能”形成层面，而无法触及或较少涉及基于“算理”解读的“算法”提炼与应用。如何在帮助学生理解“算理”的基础上，提升运算能力，是小学计算教学的基本任务。

一、小学数学计算中“算理”的认识

“算理”在数学的定义上，是指四则计算的理论依据，它是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识，其内涵包括数和运算的意义，运算的规律和性质。如果说算法是解决“怎样计算”的问题，是一种经过压缩的、一般化的计算程序，那么算理则是说明“为什么这样算”的数学原理，其为学生形成可操作化的计算提供了正确可靠的数学依据与思维过程，是学生运算能力形成与提高的有力支撑。“计算教学既需要让学生在直观中理解算理，也要让学生掌握抽象的法则，更需要让学生充分体验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程。”[1]厘清算理、对其进行整体的深层理解，才能真正促进学生对具体算法产生、发展、应用的综合认识。

从数学学习心理的角度来看，学生的数学学习是一个不断探究、不断提高思维能力的过程。对“算理”的理解与表述，除了作用于具体计算“算法”的形成与提升，更是学生数学思维活动的外显形式，是学生提升数学思维方式的有效平台。从数学知识获得的过程上分析，“算理”探究与理解，可帮助教师与学生共同聚焦于抽象的形式化的数学问题解决，并在分析“为什么”的过程中实现由经验表述到形式化原理认识具体算法。从数学建模的角度来讲，“算理”认知的过程是“材料感知，提出问题——探究感悟，理解算理——聚类抽象，形成算法——相互转化，意义内化”[2]过程的重要一环，其本质也是学生对计算本质内涵的理解、逐步生成与应用的过程。如此，小学数学计算教学中的算理理解与内化除了一般意义上服务于构造算法外，还需要关注算理本身对于“计算”的本质认识，从而达到循“理”入“法”，以“理”驭“法”。

二、小学计算教学中“算理”认识的整体分析

小学数学教学中计算主要涉及三个领域、四种运算，即整数、小数、分数的加、减、乘、除运算及四则混合运算。阅读分析小学阶段各年级计算学习的结构体例，“算理”的体验与理解主要体现在以下三个方面：

1.“算理”的呈现方式

低年级侧重借助实物图、主题图、数学工具（小棒、计数器等）以及生活经验与简单数学活动经验，经历操作活动，直观理解算理，比如通过操作小棒的“合并”“分拆”“重组”理解百以内加、减法计算。中年级侧重以学生原有的计算经验，借助概念、定律等，通过“优化”“再构”等初步数学认识，理解算理，比如二位数乘一位数竖式的理解。高年级侧重于数与形的结合，以数量关系为突破，引导学生进行简单的抽象与归纳，比如分数乘法计算中分数乘分数的算理认识。

2.“算理”的引导发现方式

低年级整数加、减法计算，主要借助于学生生活经验的再现与应用，引导学生将生活化经验提炼成数学化的表达与应用，帮助学生在建立“位值制”原则的基础上进行引导发现，注重基于自我经验的数学化方式。中年段整数乘、除法的学习主要以具体的简单实际问题为载体，引导学生将“位值制”原则进行整合与再构，注重基于自我“再创造”基础上的理解。高年段“小数、分数（百分数）”计算中则侧重于借助知识的有效迁移与类比，注重“算理”“形”与“质”的沟联式理解。即从计算过程的具体形象思维逐步过渡到抽象思维。

3.“算理”理解与“算法”形成的结构关系

低年级“算理”以操作为主，结合数的意义和四则运算意义的概念学习，同步于具体的“算法”，即将“算理”与“算法”融合于计算技能的形成过程之中。中年级“算理”的认识是半抽象的过程，以“位值制”为基础，结合竖式的抽象产生过程，形成基于“算理”认识上的“算法”构造与应用。高年级“算理”的理解则围绕数学思想及基本原理的应用，体现个人“算法”建构中的知识迁移、类比与发现，“算理”与“算法”呈现多次的螺旋交互。

因此，从横向计算类型（口算、估算、笔算）丰富性上分析，无论是简单的整数加、减法口算还是复杂的整数四则运算计算，“算理”理解中，数学概念、性质、定律始终融于具体的运算能力的形成过程中（参见图1）。[3]

图1 整数加、减法结构图

从图1中可以看出，整数加、减法中“位值概念”与“运算意义”[4]是整数加、减法运算“算理”的基础，同样，整数乘法“算理”的认识也遵循此过程。

从纵向计算的拓展性（整数、小数、分数）上分析，“算理”的理解呈现结构化特征。即“算理”的理解不是对孤立的某个运算的理解，而是与其他内容相融合，并呈现循环向上的结构特征，把握结构，将有助于引导学生对“算理”的深化理解与主动剖析。

从图2中可以看出，小数、分数的四则运算的“算理”一方面来源于对数概念的意义引申，借助“形”与“式”的结合，帮助学生直观理解，另一方面数学思想有机融于“算理”的分析中，学生的“算理”分析借助化归思想、类比思想、推理能力等的渗透，综合体现于具体问题的分析解决之中。

三、小学计算教学中“算理”理解的教学策略

1.融合“数概念”“运算意义”的意义认识，为理解“算理”提供基础保障

计算技能、运算能力的形成依赖于学生对于“数”“数的意义”的认识。因此，苏教版教材在编排中将计算教学与数概念、运算意义的教学融为一体，体现“算理”与“算法”的无缝对接。数概念是按照10以内、20以内、100以内、万以内……的方式编排的，计算也是按照10以内数的计算、100以内数的计算、万以内数的计算……的方式编排。这样，夯实对“数概念”“运算意义”的清晰认识，有助于使计算教学融于具体的问题解决情况中，实现两者双向通达式的互为补充，使学生对它们有整体性的认识，形成较完整的知识系统。比如“9加几”的教学，是学生在学习了20以内数后组织的学习活动，教材主题图呈现了如下情境：盒子里放着9个红苹果，盒子外放了4个绿苹果，启发学生思考“一共有多少个？”学生通过主题图的认识，借助“加法意义”理解，认识到“一共有多少个”，就是将两种苹果合并起来，用加法计算。“9+4”可以从加法的基数意义理解，从第一个开始依次数完；也可以从加法的序数意义入手，即从9个开始数起，依次数完盒子外的苹果。数一数的方法与加法意义相融合，同步揭示“9+4”的算理。然后，教师进一步引导学生思考，“可以有更快捷的方法吗？”这样学生就需要对计算方法进行优化，教师引导学生进一步观察盒子里一共有10个格，再放1个正好放满，正好是10个，再加上剩下的3个，一共是13个苹果，学生借助对“合并”过程的理解，体验到具体数数过程中“凑十法”的原理与意义，这也是学生后续进行计算中的重要“算理”体现。其后再进行形式化的“分解”，即用算式来表达算理，结合“满十进一”的计数原则，进一步提升学生对于“凑十法”的理解与应用。如此，“理解算理”与“构造算法”有机结合，20以内进位加法的“算法”，建立在整数概念、加法运算意义的“算理”理解中，数的概念与计算原理的交互融合，对于学生形成合理的认知结构、方法结构是十分有益的。

图2 小数四则运算结构图

2.完善“直观操作——表象操作——抽象分析”的过程提升，为理解“算理”提供思维支撑

小学阶段，尤其是低年级小学生的思维特点以具体形象思维为主，有意注意时间短，记忆主要是短时记忆。因此，计算教学中“算理”理解应充分考虑学生的年龄特点，引导学生结合具体的情境，观察具体的学习对象，调动学生手、脑、口等各种感官参与，借助“小棒”“计数器”等数学工具，通过直观操作活动将抽象的算理形象地显现出来，为算法的构建提供原型支撑。比如整数除以分数学习中，教师以直观的操作结果启发学生发现和“4×2”之间的联系，在学生初步感悟分数除以整数与乘法之间的联系后，进一步指导学生在图形中分一分，经历平均分的操作活动，利用直观的操作结果发现从而在具体的操作中初步形成形象化的算理认识。

直观操作可帮助学生“感悟”算理，但对于“算理”的理解却不能仅停于直观操作，还要向“表象操作”“思维表征”过渡。即算理理解需要逐步深入，“直观”的成分应逐步减少，逐步引导学生摆脱对具体形象的依赖，在丰富的数学活动中，经历数学化的过程中，不断提高思维的水平，学会抽象地思考问题。比如“13-9”的直观“去一去”的动手操作后，要引导学生变化不同20以内的数减9情况，尝试用计数器、数学语言、抽象算式来表达算理；在“整数除以分数”教学中，教师要引导学生继续思考，“如果除数是这样的非分数单位又如何来说清算理呢？”启发学生联系上面的计算经验，用画图、数学验证、表达等方式再次进行观察与分析，进一步明确整数除以分数的算理，同步形成算法。

从直观操作到表象操作再到抽象分析，在算理剖析的过程中，一方面要以操作的过程与经验推理，促进学生对算理的直观理解；另一方面，也要重视由算法向具体操作的“反思”，这样双向互通式的“形象”与“抽象”的结合，可以帮助学生真正理解算理，构建算法。

3.激活已有知识、经验，横向意义联结，为理解“算理”提供动力源泉

“算理”的认识、理解与分析，应注重激活学生已有的知识经验，并将新计算的“算理”理解与解析建立在与原有相关知识发生、发展与联系的基础之上，使得新旧知识得以在多角度、多侧面共通，并在灵活应用中，形成意义联结，理解新产生的“算理”，使得“算理”“扎根”。比如口算是在“位值制概念”与运算意义的基础上直接形成的“算理”认识与应用，笔算的“算理”则是由口算演化形成的“规范”过程，复杂笔算又是在简单笔算基础上延伸与发展的。而分数加减法算理来源于整数运算的类推，分数乘、除法的算理则来源于分数乘、除法意义。因此，从整体结构的知识网络上分析，教师需要明确每种计算在整体计算学习中的节点地位，从整体发展的角度，在不同“算理”的认识节点激活相应的知识、经验，通过横向意义的联系，使“算理”理解成为一个整体综合的内循环过程。

（1）对已有知识、经验的“再构”，生成“算理”的理解

“算理”的感悟、理解是学生构造算法的基础，而算理背后的原理认识则是通过具体的认识活动逐步清晰的，因此对于“算理”的理解，教师一方面要对学生的知识、能力做全面的了解，另一方面也要对教材内容做细致的分析，巧设新旧知识的矛盾冲突，引导学生走进问题情境，让学生在参与中找出新旧知识的连接点，感悟、理解中“再构”认识算理，并最终形成计算的新方法。

以典型的“12×3”教学为例，教师借助主题图的观察，引导学生主动探究，在多种引导方式中，学生形成对二位数乘一位数“算理”的逐层理解。第一层次：乘法的意义——结合操作活动，激活学生原有认知“12×3的实质就是求3个12的和是多少”；第二层次：“合并”的引入——学生借助“位值概念”，进行数的有机“分拆”，使学生理解计算“12×3”时，可以先算3个10是30，3个2是6，再把30与6合起来就是36。通过上述两个层次的经验激活，学生对于“12×3”的“算理”形成初步自我认识的体验。在此基础上，教师及时对已有分项计算过程与竖式进行意义联结，使学生理解竖式中“位值”的表示方式，即3乘十位上的1结果是30，从而使学生明确“3为什么在十位的意义”，产生“0可不可以不写”的思考，为进一步竖式的优化奠定认识基础。

（2）由“算法”应用的展开，反向深化理解“算理”

当学生经历自我学习发现体验，直观理解“算理”，初步抽象算法，形成认识后，并非就能形成较完整的“算理”理解，一般情况下，此时学生的“算理”理解仍处在形象化的直观认识阶段。这时，教师就需要借助一定的数学问题，帮助学生在应用中加深认识，通过“算法”应用的实践反思，对“算理”进行综合化提炼，在算法应用中深化理解算理。比如异分母分数加减法教学中，教师通过画图、折纸等方式引导学生从“统一计数单位（分数单位）”的角度得出异分母分数加法的算理后，可顺应学生思维发展的线索，指导学生在解决实际问题的过程中主动探索与归纳，将算理迁移应用到异分母减法计算中，一方面用减法验证加法，另一方面通过欣赏、改错、估计、拓展等丰富的练习，帮助学生反向深入理解算理。因此，初步理解算理后，不应立刻进行抽象的算法演练，可以让学生继续通过操作、看图，直观地加深对算理的理解，再逐步脱离形象，形成抽象的算法，并在巩固应用中形成问题具体化下的“算理”理解，同步实现“算理”与“算法”的深层沟通。

4.注重“算理”迁移、类比与拓展，为“算法”解构提供“再创造”平台

北京师范大学周玉仁教授对小学生的数学学习过程曾这样阐述：小学生数学学习是一个经验激活、利用、调整、积累、提升的过程，是“对生活中的数学现象的解读”，是“建立在经验基础之上的一个主动建构的过程”。从主动建构的过程看，计算教学同样需要经历过程体验，感受知识之间的内在联系，尤其注重“算理”中蕴含的数学思想方法的主动迁移、类比，进而实现个性化的再创造。

（1）同化顺应，促进“算理”理解上的“算法”构造理解

同概念形成的一般规律一致，“算法”的认识过程也涉及形成与同化两个方面。形成阶段学生经历对具体数学现象的观察，对特定（特殊）问题进行分析，从而形成对操作规范的形象感知；同化阶段学生经历丰富素材的比较过程，教师聚焦不同现象中的相似性，帮助学生对“算理”进行主体性构造分析，实现具体特殊原理向一般化的转化。因此教学中，教师要选择具有典型特征的现象，启发学生从多种角度（式、图等）进行分析，借助丰富个案的沟通，帮助学生对“算理”体验与理解。比如小数乘法教学中，“0.8（元/千克）×3（千克）”就是通过买卖问题中“货币单位”的转换获得最初的直观认识，进而结合“位值制”原则，启发学生借助已有经验进行分析，并在多个例证的应用中使学生对于整数乘小数的“算理”与整数乘法“算理”相通，明晰“转化”原理，形成意义建构。

（2）模式识别，促进学生在“算理”关联迁移中形成“算法”

“看到一事物能联想到那儿，有时是很奇怪的没有规律可循的，但就理解了问题的实质……”[5]从学生运算能力的形成过程上看，主动把握具体计算的“算理”内涵，识别其主要特征，展开意义联结，进行主动迁移、类比推理，能为学生有效地形成“新算法”、进行结构建模提供帮助。具体体现在教师要帮助学生分析不同形式算法中算理的内在联系，实现“算理、算法”的整体认识。比如五年级小数乘法计算中，实现小数与整数乘法的联系是学生理解算法、解构算法的重要环节。教学中教师可借助具体情境，引导学生尝试解决相关的问题，在问题解决中进行类比、“算法”迁移，顺应内在联系，实现整体运算能力的拓展延伸。

其一，类比类型。小数乘法与整数乘法位值制一致，运算一致，即为十进制计数法。同时演化涉及加、减、除。向前与加减法联系，向后为小数除法联系做准备。

其二，类比算理。小数乘法与整数乘法相对应，在具体的情境解构中体现“转化”思想，即可将小数计算转化为整数计算。

其三，类比运算律。小数乘法与整数乘法都体现了一般运算律，在运算中可结合数据特点进行简算。

其四，类比应用。小数乘法与整数乘法的实际问题结构一致，都可以通过相关数量关系进行关系分析。

以上四合为一，即将小数与整数乘法运算相融合，实现两者的运算结合。同时，学生在认识中进一步强化了结构关联，由易到难、由简到繁，渐进地由一个小数乘法知识点，联系到后继计算问题的结构化，为实现“运算能力”的综合提升提供经验。

（3）逐层分析，从模型视角实现“算理”再创造

“算”是“思”的外衣，“算理”教学就是要引导学生拨开外衣，探寻实质。“算理”的应用不能仅停留于“会算”的阶段，按照算法规则进行逻辑推理而获得正确结果仅仅是计算的一个方面，更重要的，在计算能力中包含着对算法的构造、设计、选择。[6]因此从形象的计算，到抽象的算理解构需要突出算理的合理性，通过逐步的渐进式的“解剖”与“深挖”，从而实现对于“算理”个性化理解后的“再创造”。

以异分母分数加减法为例，教材为学生“算理”理解提供了较丰富的实践素材，学生通过主题图引领下的直观操作，在“数”与“形”协同中，获得统一分数单位后才能进行计算的初步直观感悟。随后以具体分数意义、通分意义等切入“原理”，引导学生主动“创造”“化异为同”的策略。值得进一步思考的是，此时的“化异为同”，即统一计数单位（分数单位）不仅有呈现形式的异中求同，也有表达方式的异中求同。异分母分数加减法不仅是要让学生知道“算理”后会算，还需要引导学生拓展“算理”，形成基于数据分析之上的多元计算途径选择，帮助学生打开思路，激发对计算本身的探究乐趣。这样，“直观操作式的探究”能在不同问题情境的逐层变化推理中转变，逐步建立整体的“算理”认识。

对“算理”的“解剖”与“深挖”同样也离不开对问题构造的数学模型逐层抽象。通常情况下，教师需要通过多种策略的转换促进学生的深度思考。比如五年级转化策略中典型的“”的计算，教师如果只是针对题目“教”“数形结合”，让学生看（简单画）图后直接解决问题，此时的直观化“算理”理解仅仅成为学生解题的一个特殊的外在方法。这时教师需要思考的是，如何将静态的方法转化为学生动态的“算理”思维过程。如果教师能帮助学生观察数据的特点（后一个数是前一个的），提供可供操作的图形（正方形看作“1”），组织议一议的表示方式，启发思考“是否可以换个角度来思考”……一系列的分析与操作的协同过程，必将引领学生对为什么需要“数形结合”，怎样实现形与数的联系等解决问题方式的思考，最终形成认识上的飞跃，同步实现数学活动经验不断丰富与递增。如果教师能更进一步启发操作：“如果是或又可以怎样操作分析呢？从中可以发现哪些规律？”带着问题引领的操作分析将带领学生走入更为理性与规律变化的数学世界，获得不一样的数学思维经验。

小学阶段运算能力的形成，即是知识、技能的习得过程，更是思维发展的动态过程。具体教学中如果教师能重视学生多种方式的发现、探究、归纳，在理解算理基础上构建算法，将为学生的后续数学学习，尤其是数学化的思维方式形成提供基础性的核心引领。▲

参考文献：

[1][4]侯正海.在理解算理的基础上构建算法[J].小学数学教师，2010（7/8）.

[2]吴亚萍.中小学数学教学课型研究[M].福州：福建教育出版社，2014：252.

[3]马立平.小学数学的掌握和教学[M].上海：华东师范大学出版社，2011：18，44.

[5]刘绍学.谈谈联想[J].数学通报，1997（6）：封2.

[6]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2007：30.