巧用特殊法妙解选择题

王晖

要想顺利地解答选择题，不仅要熟练掌握和灵活地运用基础知识，更重要的是要掌握一定的技巧，才能达到快速求解的目的.由逻辑推理可知：若一般情形下结论成立，则特殊情形结论也成立；若特殊情形下结论不成立，则一般情况下结论也不成立.根据这一原理，对于题干具有一般性的选择题可采用特殊化的方法求解.特别是对于选择题中的单选题，由于其答案的唯一性，若用特殊代替一般进行验证或进行简单推算，即可把复杂问题简单化，使得结论明显，有立竿见影、事半功倍之功效.下面举例说明巧妙处理此类问题的常用方法与技巧.

1巧用特殊数值

例1已知复数z=cosθ+isinθ（5π2<θ<3π），则arg z=（）.

A.π+θB.θ-2πC.π-θD.3π-θ

解析令θ=2π+3π4，则z=22+22i，argz=π4，而θ=2π+3π4时，仅有选项D为π4.故应选D.

例2如果棱台两底面积分别是S、S′，中截面的面积是S0，那么（）.

A.2S0=S+S′B.S0=S′SC.2S0=S+S′D.S20=2S′S

解析取正四棱台，上、下底边长为1和3，那么中截面边长为2，故有S′=1，S=9，S0=4.显然选项B、C、D错误.故应选A.

例3f（x）=Msin（ωx+φ）（ω>0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx+φ）在[a，b]上（）.

A.可以取得最大值MB.是减函数

C.是增函数D.可以取得最小值-M

解析取M=1，ω=1，φ=0，则f（x）=sinx.

令a=-π2，b=π2，符合题设条件.此时g（x）=cosx在[-π2，π2]上可取得最大值1.故应选A.

点评通过取特殊数值，将看似复杂的问题轻而易举的解决，给人以“短、平、快”的美妙感觉.

2巧用特殊函数

例4设函数y=f（x）定义在实数集上，则函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图像关于（）.

A.直线y=0对称B.直线x=0对称

C.直线y=1对称D.直线x=1对称

解析对于此题若按一般函数的情形推证，对基础差的同学会感到难以理解，若f（x）=2x+1，则f（x-1）=2x-1，f（1-x）=-2x+3，画图可知其对称轴为x=1.

3巧用特殊数列

例5在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）.

A.12B.10C.8D.2+log35

解析取等比数列3，3，3，…，显然满足条件.log3a1+log3a2+…+log3a10=10·log33=10.故应选B.

例6等差数列{an}满足a￣1+a2+a3+…+a101=0，则有（）.

A.a1+a101>0B.a2+a99<0C.a3+a99=0D.a51=51

解析符合条件的数列有无数，但结论与取什么样的数列无关，可取满足题意的常数数列an=0，则可排除选项A、B、D.故应选C.

4巧用特殊点

例7若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点分别为F1、F2，离心率为4[]5[SX）]，P为椭圆上任一点（P不在长轴上），△F1PF2中∠P的平分线交长轴于点D，△F1PF2的内心为I，则λ=PIID的值为（）.

A.45B.54C.34D.53

解析由选择项可知λ与P的位置无关，故可选P为短轴的端点，此时λ=PIID=|PF1F1O|=ac=54（O为原点），故应选B.

例8若函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=-π8对称，则a=（）.

A.2B.-2C.1D.-1

解析根据题意，当x取0与-π4时，y值相等，设为y0，即点（0，y0）与点（-π4，y0）关于直线x=-π8对称.则由sin0+acos0=sin（-π2）+acos（-π2），可解得a=-1.故应选D.

5取特殊范围

例9已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是（）.

A.若α，β是第一象限角，则cosα>cosβB.若α，β是第二象限角，则tanα>tanβ

C.若α，β是第三象限角，则cosα>cosβD.若α，β是第四象限角，则tanα>tanβ

解析利用题中α，β的任意性，设α，β在0°～360°内，若α，β是第一象限角，则由sinα>sinβα>βcosα

点评若努力想利用sinα>sinβ确定α，β之间的关系，进而确定cosα与cosβ、tanα与tanβ之间的关系，这样很容易陷入惘然无果的境地.本题也可用特殊数值求解，请大家不妨一试.

6巧用特殊直线

例10过抛物线y=ax2（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF和PQ的长分别为p与q，则1p+1q=（）.

A.2aB.12aC.4aD.4a

解析抛物线焦点F的坐标为（0，14a），由选择项知结果与过F的直线变化无关.故可令直线y=14a，代入x2=1ay，x=±12a，所以p=q=12a，所以1p+1q=4a.7巧用特殊图形

例11已知平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，则分别以AB和AD为旋转轴所得两旋转体的体积比是（）.

A.baB.abC.b2aD.a2b

解析由选择项可知结果与平行四边形内角变化无关，可用矩形代替，则所求两体积之比为πb2aπa2b=ba，故应选A.

例12设圆台的上下底半径分别为r、R，一个平行于圆台底面的截面截圆台成体积相等的两部分，则截面半径r为（）.

A.R3+r32B.3R+r2C.3R3+r32D.3R2+3r2

解析取极限状态，当r=R时，应有截面半径分别为R，故应选C.

例13双曲线x2a2-y2b2=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）.

A.2B.3C.2D.32

解析取两条互相垂直的渐近线为y-x=0和y+x=0，与其对应的一双曲线可以是x2-y2=1，从而a=1，b=1，c=2，可推出e=2.故应选C.

8巧用特殊截面

例14棱台上、下底面积分别为S1、S2，一个平行于底面的截面把棱台的高分成两部分（从上至下）的比为λ.则该截面的面积为（）.

A.S1+λS21+λB.S2+λS11+λC.（S11+λ+λS21+λ）2D.（S21+λ+λS11+λ）2

解析λ→0，时，所求截面积→S1，故排除选项B、D；又λ=1时，S截为中截面，有公式2S中=S1+S2可知，S中=（S12+S22）2，故应选C.

9取特殊位置

例15过抛物线y=ax2（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则1p+1q=（）.

A.aB.2aC.4aD.1

解法1当所在直线平行于x轴时，PQ为抛物线的通径，且|PQ|=1a，则|PF|=|FQ|=12a，从而1p+1q=2a+2a=4a.故应选C.

解法2当线段PF的长无限增加时，|QF|→14a，则1q→4a，1p→0，1p+1q→4a.故应选C.