对2015年山东卷理科第20题的拓广探究

北京市昌平区第一中学　(102200)　张全合　何　苗



对2015年山东卷理科第20题的拓广探究

北京市昌平区第一中学(102200)张全合何苗

2015年山东卷理科第20题是一道椭圆与直线相交的综合问题，特别是最后一小问，研究其解法、探究其拓广，很有收获，与大家同享．

一、题目再现

(1)求椭圆C的方程；

(ⅱ)求△ABQ面积的最大值．

二、推广到一般

在上述结论1中，有λ>1的条件，这一条件使我们对△QAB面积的最大值问题产生了以下质疑：显然，λ≠1，必有λ>0，经过画图分析，我们发现当0<λ<1时，问题仍然有意义．因此我们必须在严密的推理证明中去审视问题，得以下结论．

将y=kx+m代入到椭圆C的方程，可得(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0，由(2a2km)2-4(a2k2+b2)a2(m2-b2)=△2≥0，可得m2≤a2k2+b2②.由②知0

于是，得到下面的结论2．

说明：仿上面的其他解法，也能证明结论2．

由于在上述推证过程中，并未用到a与b的大小，因此可以再推广．

三、类比到圆中

从特殊到一般的猜想是我们发现新知的重要方法，但是猜想可能正确，也可能不正确，猜想是需要证明的．

参考文献

[1]王伯龙．平淡中精彩分呈常规中彰显能力——对2015年山东理科第20题的几点思考[J]．中学数学教学，2015(5)：44-46．

[2]柳俊婷，于兴江．2015年山东理科第20题的多解分析及探究[J]．中学数学研究(江西)，2015(8)：40-42．