傅里叶级数在心电信号模拟中的应用*

尚　宇，武小燕（西安工业大学电子信息工程学院，西安710021）



傅里叶级数在心电信号模拟中的应用*

尚宇，武小燕
（西安工业大学电子信息工程学院，西安710021）

摘 要：为了解决心电医疗设备中波形校正，设备检修的问题．文中分析了心电信号模拟的方法，提出了运用傅里叶级数（Eourier Series）对心电信号Q、R、S、P、T波形，QRS、P-R、S-T间期进行模拟仿真．仿真结果表明：心电信号随时间呈现周期性变化，R波幅值最大，T、P、S、Q波幅值逐渐减小，模拟的心电信号可以调节幅度、间期、心率，产生各种病症的心电信号，有利于心电图机，便携式心电监护仪设备的检测与校准．

关键词：心电信号；傅里叶级数；模拟；R波形；QRS间期

基金资助：陕西省自然科学基础研究计划（2014JM2-6093）

由于心电医疗设备出现故障后，一般都要检查一下各导联工作是否正常，并且进行维修，为了保证监护仪、心电图机参数的准确性．这时通常会用模拟的心电信号来代替人体进行初步检查，以进行调试．这样做既安全又保险，避免了用人体来做检查产生的不安全隐患［1］．

随之数学建模的深入发展和研究，McSharry等人针对心电信号的模拟建立出一个合适的数学模型并加以实施．该方法的原理就是在XY平面上投影出一个单位圆，Z轴方向上不断变化进行心电信号波形的模拟［2］．但是这种数学模型的建立仅仅只有Z轴方向上的变化，模拟所得到的心电信号种类较为单一，数量有限．李刚等人在后来的研究中发现该方法的局限性与模型的复杂性，因此，他开发了一套心电信号模拟软件系统，该系统是通过画图的方式产生的，实验者可以根据心电信号的特点，画出适合模拟信号所需的波形图，所有画出的波形图构成了心电信号模拟的模板库，实验者根据模拟所需，采用不同的心电信号模板再加以周期重现就得到一个长时的心电信号波形图［3］．这种方法后来被广泛使用，但是该方法一是调用模板库比较费时，二是模板库数据受画图人的主观因素较大，结果很难保证［4］．近几年，心电医疗教育培训和心电设备的检测对模拟所得的心电信号要求较高，心电信号应当满足不同状态下心电信号的诊断标准，这使得我们在心电信号模拟上应当利用一种新的数学模型，让心电信号模拟取得更好的效果．

文中McSharry和李刚的数学模型的基础上，将傅里叶级数与心电信号模拟相结合［5］，提出了一种适用于心电信号模拟的方法-傅里叶级数心电信号模拟法，分析了Q、R、P、T波形，QRS、P-R间期模拟的需求，给出了该算法的仿真结果并对其进行分析．

1　傅里叶级数理论和心电信号基础

心电信号是在心脏活动过程中，心脏的肌肉和神经电活动的综合表现，信号源自于心脏［6］．心电信号属于一种常见的微弱生物医学信号，如果测试中离开人体体表微小的距离，就基本上检测不到心电信号的存在．正常的心电信号的幅值范围大概在0．05～5 m V之间，频率范围约在0．05～100 Hz之间，然而大部分的能量主要在0．25～40 Hz．正常人的QRS复合波波宽在一般多在0．08 s左右．正常成人的P-R间期一般在0．12～0．20 s之间．正常P波宽度不超过0．01 s，最高幅度不超过0．25 m V．正常范围的T波出现时长为0．05～0．25s，电压幅度不会高于同导联中R波的十分之一，一般正常范围内，Q-T间期在0．32～0．44 s，其间期长短与心率有较大的关系，心率越快，Q-T间期就会越短［7］．一个完整的心电信号波形是由P波，Q波，R波，S波，T波，U波以及P-R间期，ST段，Q-T间期等组成．一个完整的心电信号的基本构成如图1所示．

图1　心电信号波形图Fig．1 ECG waveform

设f（x）是一个周期为T的函数表达式，由f（x）所确定的傅里叶级数表达式［8］为

式中：T＝2l，n＝1，2，3，…．

心电信号作为一种微弱的生理信号，具有一定的周期性，由心电信号的基础知识所知，其满足狄利克雷条件，在一个周期内无间断点，并且有有限个极大值和极小值［9］．因此，心电信号的模拟可以采用傅里叶级数来展开．

2　傅里叶级数模拟心电信号

心电信号是一种周期性信号，其一个周期是形似三角波形和正弦波相互叠加的一个波形．心电信号的每个显著波群和间期均可通过叠加得到的波形移动和缩放得到［10］．心电信号QRS波群中，通过分析三个波形的实测情况，与三角波有一定相似度，因此，Q、R和S的部分可以通过三角波模拟．P、T和U部分幅值较小，近似于一个的圆拱形，因此，用正弦波模拟P、T和U波形．模拟产生的Q、R、S、P、T和U波经过叠加，构成完整的心电信号．

2．1 QRS波形模拟

三角波形应用于QRS波模拟的理论分析由式（1）推导如下：

三角波可表示为以下函数式

根据傅里叶级数算法的分析，我们可知

因此，三角波形的傅里叶展开式

利用以上推导公式可以实现Q波模拟，R、S波的模拟原理和Q波相同．

2．2 PTU波形模拟

正弦波应用于PTU波模拟的理论分析由式（1）推导为

设正弦波

因此，正弦波的傅里叶展开式

利用以上推导公式可以实现P波的模拟，T、U波的模拟原理和P波相同．

3　心电信号模拟仿真实验

3．1 正常心电信号的模拟

模拟得到的正常心电信号，其心率值为72次／min，P波幅度为0．25 m V，R波幅度为1．60 m V，Q波幅度为0．025 m V，T波幅度为0．35 m V，P-R间期为0．16 s，S-T间期为0．18 s，QRS间期为0．11 s．图2为模拟的心电信号，图3为麻省理工心电数据库（MIT-BIH Database）中100号数据，此数据为实际采集到的心电信号．

由图可知，运用傅里叶级数模拟的心电信号与真实的原始信号相比，模拟心电信号的Q、R、P、T波形和间期特性均有呈现．

3．2 心律异常心电信号的模拟

窦性心动过速（tachycardia）是指成年人窦房结发出的激动超过了100次／min以上，窦性心动过速是常见的心律失常，轻度患者可无自觉症状或仅有心悸、胸闷、乏力、头晕、出汗；重度患者发绀、气促、晕厥、低血压、休克、急性心衰、心绞痛，甚至衍变为心室颤动而猝死．根据以上特征，运用傅里叶级数模拟的心动过速心率值高达140次／min，从图中可以看出心率明显加快．

图2　模拟心电信号Eig．2 ECG simulation

图3　实际心电信号Fig．3 Actual measurement of ECG

窦性心动过缓（bradycardia）是成年人窦房结自律性降低所致的窦性心律失常，其频率在60次／min以下，平时心率每分钟70～80次，如果降到40次／min以下时，病人会有自觉心悸、气短、头晕和乏力，严重时伴有呼吸不畅、脑闷、头疼，不定时心前区有猛烈的冲击感，更重时可因心排出量不足而突然昏倒．根据以上述说，运用傅里叶级数模拟的心动过缓心率值低至40次／min，心率明显降低．

T波，QRS波群之后凸起的波，代表着心室的舒张活动．T波的观察要从方向、形态和深度等方面来进行．方向方面，T波是一个直立向上的圆滑波形，偶尔也会发生T波倒置的现象．形态方面，T波的波形是一个圆滑的顶端，具有不对称性，前半部分波形缓慢的上升，后半部分波形陡然下降．深度方面，虽然各个导联情况不尽相同，但是T波一般不超过0．5 m V．如若T波异常高尖其幅度值大于0．5 m V，通常是心肌梗死的早期或高钾血症的病兆，应当给予重视．

S-T段，指的是QRS波群终止到T波开始之间的一段时间．观测S-T段主要是看它深度还有形态．从形态上来说，正常的S-T段是与T波相连的一条高于等位线之上微微上扬的线．从深度上来说，S-T段一般比等位线高，但是高的幅度不尽相同，在肢体导联中，S-T段一般比等位线高0．1 m V；在胸前导联中，S-T段比等位线高0．1 m V～0．3 m V不等，S-T段高于或低于上述幅度范围，应该给予重视．因此，正常情况下，S-T段波形一般是上斜型的形态特征，如若S-T段波形出现水平或微微下倾的线，则是心电信号异常的表现，应当及时进行就医．上述几种异常心电信号模拟仿真结果如图4所示．

图4　异常心电信号Fig．4 Abnormal ECG

4　模拟心电信号实验分析

从实验仿真结果来看，在图4（a）中，2 s的时间内有四个完整的波形出现，代表着2 s心脏大约跳动了4．5次，一分钟大约有145次的心跳，实验数据显示，其自动调节心率值为140次／min，而一般成年人的心率为60～100次／min，远远超过了正常取值，是心动过速的一种表现．在图4（b）中，2 s大约有1．5个波形出现，一分钟大约跳动45次，实验数据显示自动调节心率值为40次／min，该数值低于正常标准，是心动过缓的而一种表现．图4（c）中2 s大约有2．5个波形出现，一分钟大约跳动75次，实验数据显示自动调节心率值为72次／min，符合正常标准，但是该心电信号T波幅度高达1．25 m V，超过正常状态的3倍，异常高尖，这是T波幅度异常的一种表现，这可能是因为运动引起的冠状动脉机能不全，致使心肌心内膜下及心外膜下产生急性心肌缺血，从而导致了T波形态的改变的一种现象．图4（d）和图4（c）心率相同，但S波和T波幅度较小，造成S-T段平缓，这可能是心肌出现缺血或坏死的表现．

由于心电信号的多样性，不同类型的心电信号需要设置不同的参数．本文以正常心电信号、心率过速，心率过缓，T波异常高尖，S-T段水平为例，展示了利用傅里叶级数原理进行不同的心率，幅度，时间间期等参数的选择，对不同类型心电信号进行模拟的效果图．

此外，异常心电信号的典型信号，如房性早搏，P波消失，R-R间期不齐，心房颤动等都可以用傅里叶级数原理进行模拟，得到对应的效果图．

5　结论

文中通过对心电信号各个波形和间期模拟的实现，运用三角波和正弦波，采用傅里叶级数（Eourier Series）的原理进行模拟仿真实验．傅里叶级数模拟得到的心电信号可以自由调节R-R间期长短，进而改变心率值大小，用于心率失常的演示与判别．模拟P、Q、R、S、T波形可自由更改幅度大小，有利于医学上波形高尖或者水平病症的研究．QRS、P-R、S-T间期对与心室心房活动机制研究提供了模板．利用上述模拟方法，根据相关医学知识，模拟出具有指定特点的心电信号，在使用中不断地扩充心电模板库和模拟心电数据库，强化心电数据库的功能，为心电信号研究提供参考．

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（责任编辑、校对 张立新）

Application of Fourier Series in ECG Simulation

SH ANG Yu，WU Xiaoyan
（School of Electronic Information Engineering，Xi’an Technological University，Xi’an 710021，China）

Abstract：Eor the electrocardiograph correction and equipment maintenance，this paper presents the electrocardiograph simulation method for simulating Q，R，P，T waveform and QRS，P-R interphase by using Eourier series．The simulation results are as follows．ECG signal displays cyclical variation with time；R wave amplitude is the maximum；T，P，S，Q wave amplitude decreases gradnaly；ECG simulation can adjust the amplitude，interphase and heart rate，producing a variety of signals of disorders．Which makes it easy for the portable ECG monitor and ECG machine to test and calibrate．

Key words：ECG；fourier series；simulation；R waveform；QRS interphase

作者简介：尚 宇（1973－），女，西安工业大学教授，主要研究方向信号与信息处理．E-mail：179648622＠qq．com．

*收稿日期：2015-05-16

DOI：10．16185／j．jxatu．edu．cn．2016．01．005

文献标志码：中图号： TP312 A

文章编号：1673-9965（2016）01-0021-05