恒成立问题的一般解法

赵丽金

高三数学复习中的恒成立问题，涉及一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一、一次函数型；二、二次函数型；三、变量分离型；四、根据函数的奇偶性、周期性等性质；五、直接根据函数的图象。

一、一次函数型

三、变量分离型

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

五、直接根据图象判断

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题，这种方法更显方便、快捷。

（作者单位：江西省赣州赣县中学北区）