高师专科高等代数教学的探索与实践

白 颉

（太原学院，山西 太原030001）

高等师范院校是培养教师的主要阵地，而高等代数是高师院校数学教育专业的一门重要的专业基础课程。它以其抽象深奥的知识为载体，蕴含着丰富的数学思想和数学方法；它重在培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力等数学素养，培养学生创新意识和解决问题的能力，同时也是对初等数学部分内容的理论化和系统化。因此，关于高等代数的教学研究至关重要。近年来，在教育改革浪潮的冲击和其自身矛盾的触发下，许多教育工作者对高等代数教学从教学内容、教学方法、考核方式等不同层面提出了诸多可取的措施[1-5]。但对于高师专科高等代数的教学研究较少，下文主要分析高师专科高等代数的教、学现状，并针对其主要矛盾给予化解教学矛盾的策略与方法。

1 高师专科高等代数教和学现状分析

1.1 学生现状

在高校素质教育普及的大背景下，高师专科院校的生源质量受到了较大的影响，使学校教育面临新的挑战，使课堂教学难上加难。据2012年—2015年对某省四所师专数学系学生关于高等代数教学方面的问卷调查，综合分析得如下情况：

数学基础(高考成绩)优（120以上）及格不及格学习高等代数的兴趣学习态度自学能力学习高等代数价值的认识0%25.8%74.2%感兴趣一般无兴趣7.8%37.9%54.3%探索型主动型接受型0%11%89%较好一般教差2.5%15.5%82%有一定认识不了解认为没有意义13%32%55%

可见，师专院校数学系的大部分学生数学基础、自学能力较差，在知识、方法的积累和探索上呈被动型，对学习高等代数的意义认识不深，对数学学习缺乏兴趣。

1.2 教学现状

高等代数作为一门基础课程，具有内容抽象、应用性体现较弱的特点。随着教改的不断推进，又出现了一系列的不协调，如教学内容多、课时少；教学中，学生的主体地位没有得到充分体现；多媒体教学与教学内容貌合神离等。

综上分析，当前高师专科高等代数课程教学中，存在的主要矛盾是高度抽象的教学内容和学生薄弱的数学基础间的矛盾；培养学生的数学素养和学生缺乏学习兴趣间的矛盾；刻板的讲授方式和学生消极的学习态度间的矛盾等。对此，下面提出了三条相应地改进教学不协调的策略。

2 高师专科高等代数教学策略

2.1 注重联系中学数学知识，渗透理论知识的应用背景

基于学生现状，改善学习主体的学习状态、激发学生的学习兴趣是教学的重点之一。当代建构主义学习观认为，学习一方面是对新信息的意义建构，同时又包含对原有经验的改造和重组，即学习者以自己原有的知识经验为基础，对新信息重新认识和编码，主动构建自己的理解。高等代数每节课的教学内容通常是概念、性质及问题求解的体系，在理性的知识层面下较少谈及与已学知识间的关系或其在生活实际中的应用。若直接照本宣科的话，枯燥的知识不容易吸引学生，不利于学生进行知识建构。为此，教师需要加工处理教学内容，通过课堂激发学生学习兴趣。

注重联系新旧知识，找到新知识的生长点。通过创设符合教学内容的情境，揭示新旧知识间的联系，有助于学生对所学知识进行意义建构。也就是说，使学生在一个情境交互、并利于意义建构的过程中收获知识。例如，在线性方程组一章中，消元法的教学中，我们首先创设问题情境，给出几个方程组：

让学生观察并找出可以求解的方程组，同时分析不能求解的原因。通过学生分析上述问题，联系中学解方程的方法 (加减消元法和代入消元法)及前面所学的克拉姆法则解方程组的条件，易得方程组 (3)、(4)、(5)均不能求解，因为方程组 (3)的系数矩阵A行列式det(A）=0，而方程组 (4)、(5)中方程的个数与未知量的个数不相等。方程组(4)、(5)可以求解吗？对于学生来讲，这些问题正是他们的空白。此时，切入课题——消元法，它恰好是判断并求解任一情形线性方程组的有效方法。这样导入新课，自然地将学生带入到问题情境中，带着问题听课利于激发学生的求知欲、调动其学习的积极性，同时也可以让学生体会到这部分内容是中学解方程组知识的完善和系统化。

教学中注重渗透理论知识的应用背景，将理论知识投射到生活实际。每一理论背后都有丰富的、鲜活的应用。然而教材中很少体现，大部分学生对所学知识的应用了解甚少。因此，教学中，我们可适量地讲解一些知识在生活中的应用，激发学生学习的兴趣。例如线性方程组理论有非常广泛的应用，如它是研究网络流模型、投入产出模型等方面的重要工具。例如城市规划设计人员和交通工程师监控城市道路网络内的交通流量、电气工程师计算电路中流经的电流等。大多数网络流模型中的方程组都包含了数百甚至上千个未知量。

通过问题情境导入新课和应用实例的介绍，一方面使学生们意识到消元法是中学方程组内容的深化和完善，便于学生建构知识体系。同时也能感知理性的知识背后有其丰富、鲜活的应用，利于主动学习。

2.2 采用 “模型化”教学

对于抽象的教学内容，学生往往是能听懂讲解，但不会运用、不会解题。因此，如何引导学生开拓思路、如何将抽象知识具体化是课堂教学的主要任务。为此，在概念、定理的教学中，我们需抓其本质，引导学生学会翻译，即将文字语言转换为符号语言，准确建立符号模型。例如，在欧氏空间[6]的教学中，可以建立以下模型：

模型一：{α1，α2，…，αn}是规范正交基⇔<αi，αj>=

模型二：矩阵U=(uij)为正交矩阵

模型三：σ是正交变换⇔<σ(ξ)，σ(η)>＝<ξ，η>，，{γ1，γ2，…，γn}是一组规范正交基。

模型四：σ是对称变换⇔<σ(ξ)，η>＝<ξ，σ(η)>，∀ξ，η∈V。

当然在教学中，揭示了概念、定理的本质后，注意帮助学生积累一些常见的思维模式。比如，子空间W是σ的不变子空间⇔∀ξ∈W，σ(ξ)∈W⇔若{α1，α2，…，αr} 是 w 的一组基，则{σ(α1)，σ(α2)，…，σ(αr)}为W的一组基。再如关于 “A或B”命题的证明，通常是在假定A不成立的条件下，只要证明成立B即可。高等代数中好多问题都可以建立相对固定的解题模式。这对开拓解题思路确实有非常好的教学效果。如下例：

设σ是n维欧氏空间V的一个正交变换，证明：如果V的一个子空间W在σ之下不变，则W的正交补W┴也在σ之下不变。

思路解析：要证W的正交补W┴也在σ之下不变，常用的有上述两种思路，这就需要结合已知选取合适的方法。

分析已知条件：

(1)σ是n维欧氏空间V的一个正交变换⇔<σ(ξ)，σ (η)>＝<ξ，η > ，∀ξ，η ∈V ⇔ <σ (γi)，σ (γj)>=，其中{γ1，γ2，…，γn}是一组规范正交基；

(2)W是V的一个子空间，常规思路是将子空间W的基{α1，α2，…，αr} 扩充为V的基{α1，α2，…，αr，αr+1，…，αn}；

(3)W┴是W的正交补，结合条件 (1)、(2)，应选取W的一组规范正交基；

(4)W 在σ之下不变⇔ {σ(α1)，σ(α2)，…，σ(αr)}是的W基。

于是，要证W的正交补W┴也在σ之下不变，只要说明 {σ(αr+1)，σ(αr+2)，…，σ(αn)} 是W┴的一组基即可。

事实上，设{α1，α2，…，αr}是W的一组规范正交基，并扩充为V的规范正交基{α1，α2，…，αr，αr+1，…，αn}。 因为<αi，αj>=0，其中 i=1，2，…，r； j=r+1，…，n，即αj∈W┴。因为 V＝W⊕W┴，故 dimW┴=n-r，从而{αr+1，αr+2，…，αn} 是W┴的一个规范正交基。又因为σ是V的一个正交变换，故{σ (α1)，σ(α2)，…，σ(αn)} 也是 V 的规范正交基；因 W 在σ之下不变，故{σ(α1)，σ(α2)，…，σ(αr)}是 W 的规范正交基。 再由<σ(αi)，σ(αj)>=<αi，αj>=0(i=1，2，…，r；j=r+1，…，n)，得σ(αj) ∈W┴(j=r+1，…，n)，从而{σ(αr+1)，σ(αr+2)，…，σ(αn)}是W┴的一组基，即W┴也在σ之下不变。

上例可见，在理解的基础上掌握各知识点的模型、积累常规问题的思维模式，在求解问题时，便于学生将问题转化，可以有效地改进学生见题无从下手的状况。因此，教学中引导学生建立知识点的符号模型，帮助学生转换知识，是高等代数教学非常可取的方法之一。

2.3 注重构建知识体系

基于高等代数重推理论证、轻应用，学生抽象思维能力弱、学习相对被动的情况，在教学中，首先介绍所要解决的问题，大致勾勒出章节知识间的关系，让学生初步了解知识脉络，明白所学内容在章节中的地位与作用，帮助学生构建知识体系。例如，在行列式一章的讲授中，结合本章的知识结构图介绍章节间的关系：

通过简单的二元一次方程组、三元一次方程组的求解及相应系数行列式的计算，让学生初步体会行列式在求解线性方程组中的工具性作用，提出学习行列式的目的和意义。通过探索二阶、三阶行列式中各项正负号与脚标的关系，说明学习排列的意义——为定义行列式做准备。此时，给出行列式的定义，但由于利用定义计算行列式相当麻烦，计算量太大，从而启发我们进一步研究行列式的性质，并探索计算行列式的方法，这是本章的重点。最后，给出行列式的应用——利用克拉默法则求解线性方程组。这样就使行列式整章的主体知识脉络清晰，对每一节课所要解决的问题及其在本章中的地位和意义一目了然，使学生的学习动机更有指向性和目的性。 再如线性变换一章，它是研究维向量空间V中元素之间最基本的联系，是高等代数中最抽象、最难学的内容。为此，希望找到相对具体的、简单的工具来研究它，或者将其转化为熟悉的代数系统来研究。在教学中，一方面渗透将抽象问题具体化、复杂问题简单化的数学思想方法。另一方面，注意从整体上把握知识构架。这一章共6节，可以分为两条主线。

第一条主线 (1节—3节)：实现了抽象问题具体化，即建立了L(V)≅Mn(F)。结构图如下：

在第2节中，定义了线性变换的运算——加法、数乘等运算，使线性变换的集合L(V)对于加法和数乘运算做成向量空间。在第3节中，定义了线性变换关于基的矩阵，将L(V)与Mn(F)联系起来，建立了同构映射。这样就将抽象的线性变换问题转化为较为具体的矩阵问题，实现了较大意义上的具体化。

第二条主线 (4节—6节)：实现了复杂问题简单化。因为同一线性变换关于不同基的矩阵相似，自然地希望选取V的一个基，使得σ关于这个基的矩阵具有尽可能简单的形式。这就相当于在一切相似的n阶方阵中，选出一个形式尽可能简单的矩阵。不变子空间的引入揭示我们：若V分解成s个在σ之下不变的子空间的直和，则可以适当的选取基，使得σ关于这个基的矩阵有较简形式。若V分解成n个在σ之下不变的一维子空间的直和，则与σ相当的矩阵就为对角阵。这正是本征值、本征向量和可以对角化的矩阵所解决的问题，从而解决了选基简化σ关于基的矩阵的问题。整个思维结构图如下：

这一过程的呈现，主体知识脉络、结构清晰，层层递进，环环相扣，可以使学生带着问题去听课，不仅增强了学生学习的指向性，同时有助于培养学生发现问题、分析问题、解决问题能力，便于学生将新知识纳入到已有的知识体系中去。

总之，基于高师专科高等代数教学现状，需不断提高自身的专业素养，艺术地做老师，不断创新教法。从教之路，充满了未知，充满了挑战，需用心解读、用智慧成就。