一道模拟题的失分原因分析及教学思考

安徽省砀山中学　　辛　民　　(邮编：235300)



一道模拟题的失分原因分析及教学思考

安徽省砀山中学辛民(邮编：235300)

摘要通过对一道具有多种解法高三质量检测模拟题分析、调查、座谈，查找学生解答失分原因，反思数学教学，寻找数学教学的缺失，提出制定改进教学的措施.

关键词模拟题；失分原因；教学思考

一次高三数学教学质量测试中，有一道学生本可以通过读题、审题、分析、抽象、概括等活动，利用基本概念，构造自然、简洁的多种解法求解的试题，测试结果却出人意料，学生失分较多，这一现象引起了笔者对试题研究思考、探究失分的原因、反思教学的缺陷.先将其过程展示如下，与同行分享.

图1

1模拟题及解答

一个正四棱锥和一个正三棱锥的所有棱长都相等，将他们全等的两面重合在一起拼成一个多面体ABCDEF，如图1.

(1)求证：AE∥BF;

(2)略(某市高三模拟题).

分析以学生熟悉的正三棱锥、正四棱锥为载体命制试题，亲切自然，问题解答遵循直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算探索空间图形及其性质的一般方法，符合学生认知习惯，叙述简洁，内涵丰富，考查学生自然语言、图形语言、符号语言的相互转化能力，解答试题需要一定的空间想象能力、合情推理能力、逻辑推理能力及较强的计算能力.本题由2007年的浙江高考试题改编而来，原设问是正三棱锥、四棱锥组成的几何体共有几个面？设问指向不明，学生不知如何入手解答问题，改为现在的形式学生思维指向明确，有利于学生解答问题.

图2

证法1如图2所示，过E作EF′平行于AB且AB=EF′,则四边形F′EAB为平行四边形，从而ΔF′EB为等边三角形，同理F′EC也是等边三角形，从而F′BC也是等边三角形，所以三棱锥F′-EBC与F-EBC是同一个三棱锥.故AE∥BF.

图3

证法2将两个全等的正四棱锥E-ABCD和F-MNPQ的底面并在一起,使CB与MN重合,且使ABPQ在一个平面上.

因为正四棱锥E-ABCD和F-MNPQ是全等的,所以AE=BF且AE平行BF.

故四边形ABEF是平行四边形，所以ΔEFB是正三角形，同样ΔEFC是正三角形.

故四棱锥E-BCF是正三棱锥，故原结论成立.

注以上两种解法通过直观感知、操作确认完成证明.

图4

证法3由题意知，ΔABE、ΔCBE和ΔBEF都是正三角形，如图4，取BE的中点O,连AO、FO、CO、AC,则BE⊥AO,BE⊥FO，BE⊥CO.

故∠AOC、∠FOC分别是二面角A-BE-C和二面角F-BE-C的平面角.

在ΔAOC中，cos∠AOC=

在ΔFOC中，cos∠FOC=

所以∠AOC+∠FOC=1800,即二面角A-BE-C与二面角F-BE-C互补，

所以ABEF四点共面，又AB=BF=EF=EA,故AE∥BF.

图5

证法4如图5， 取AD的中点M,连EM,FM,由题意ΔADE是正三角形，所以EM⊥AD,又E-BCF为正三棱锥，所以EF⊥BC,因为AD∥BC,所以AD⊥EF,EF∩EM=E,所以AD⊥平面EFM,

取BC的中点N,连EN,FN,类似可得AD⊥平面EFN,

平面EFN∩平面EFM=EF,所以平面EFN,EFM是同一平面，EF ∥MN∥AB,且EF =MN=AB,所以四边形ABFE为平行四边形.

故AE∥BF.

注以上两种证明通过分析推理、思辨论证完成.

图6

注以上两种证明通过分析图形结构特征、度量计算完成.

2座谈调查寻找缺失

3反思错因改进教学

立体几何是研究现实世界中物体形状、大小与位置关系的数学学科，通过直观感知、操作确认是学习这一知识的最好方法，因此教师在教学时要充分利用教学模型，引导学生真切、直观、具体地观察、感知、探究几何教学模型中空间点、线、面之间的位置关系，利用多种形式表征结构关系，这样学生更易于形成立体几何的认知和学习习惯，掌握立体几何的相关知识与方法，发展学生的空间想象能力、推理论证能力，提高图形语言、文字语言、符号语言的转化能力.

准确地理解算理、灵活地运用算法是提高运算能力、逻辑思维能力的重要保证，其重要性是不言而喻的，上题所考查的运算技能，主要包括方程、方程组求解，字母、数量积的运算、解三角形等，从学生答题情况看却令人担忧，相当一部分学生运算能力不过关，如四则运算不准确，方程组不能正确求解等，数量积、三角公式不能正确运用，计算不准确，费九牛二虎之力计算得出错误的结果.由此可见，上述结果是由学生算理不清、算法不准造成的，而数学每一步运算都以定义、定理、公式、法则为依据，因此，教学中要帮助正确理解概念、准确掌握公式、定理、法则形成构建算理的基础、提高准确、迅速、灵活运算能力，学生的运算能力提升应是数学学习中一项长抓不懈的工作.

由此可见，直观感知、操作确认是建立空间概念的基础，准确掌握空间图形中点、线、面的结构关系是实施推理论证的前提，熟练地进行语言转化，准确计算是解决立体几何问题的有效方法.

参考文献

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《中学数学教学》

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2016年我们选题的重点有：(1)中学数学课程改革的理论、实践与动态；(2)全国卷的考查特点与教学(备考)建议；(3)2016年高考数学全国卷中个别试题的深度研究或总体评价；(4)2016年中考数学个别试题的深度研究及评价建议.

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(收稿日期：20165-02-20)