一元函数常见的求导方法总结

马丽杰

摘 要 本文给出常见的一元函数求导方法，以便于一些初学者学习领会。

关键词 导数 极限 求导法则

中图分类号：O172.1 文献标识码：A

一元函数求导是高等数学中的一个重点也是一个难点，有很多求解的方法和技巧。本文总结了几个常见的求导方法希望对大家有一定的启示。

1定义法

一些分段函数在分界点处的导数要借助于导数的定义去求解。

例1：求分段函数在点时的导数。

解：因为点x=1是分段函数的分界点，所以要借助于单侧导数去求解；

所以-（1）≠+（1），故函数 （x）在点x=1处不可导。

注：设函数y= （x）在点x=x0处可导，且（x0）=A的充分必要条件是： （x）在点x=x0处既是左可导的，又是右可导的，且-（x0）=+（x0）=A。

2隐函数求导法

一般说来，如果在x，y的二元方程中，当x取某区间内的任意值时，相应的总有满足该方程的一个值与之对应，那么就说该方程确定了y是x的函数。这样的函数称为隐函数。

例2：求由方程xey y+1=0所确定的隐函数y=y（x）的一阶导数。

解：方程两边对求x导，得：

解出y'，得：

3对数求导法

对函数先取自然对数，通过对数运算法则化简后，再利用隐函数求导法求出函数的导数，这种求导方法称为对数求导法。

例3：设y=x3，求y'。

解：先在两边取对数，得：

然后将上式两边对x求导，得：

解出y'，便得：

注：幂指函数的一般形式为y=[u（x）]v（x）（其中，u（x）>0）。若函数u（x）和v（x）都具有导数，则可利用对数求导法来求导。另外，对数求导法对于由乘、除、开方构成的函数也适用，可简化求导运算。

4参数方程求导法

一般地，参数方程可以确定y是x的函数，就称作为由参数方程所确定的函数。下面我们就推导其导数公式。

在上式中，如果x= （t）都具有导数，且 '（t）≠0，x= （t）具有单调连续反函数t= -1（x），y是x的复合函数，即y= （t），t= -1（x），则由复合函数求导法则和反函数求导法则，可得

例4：已知椭圆的参数方程为，求椭圆在t=处所对应的点的切线方程。

解：当t=时，椭圆上相应的点M的坐标是

则在点M处的切线斜率为

因此，切线方程为

对于不同的函数求导，我们应结合其本身的特点采用合理的方法求解。只有把一元函数求导的方法灵活掌握才能更好地学习后继的多元函数求偏导数。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学上册（第二版）[M].北京：同济大学出版社，2014.

[2] 全国高等教育自学考试指导委员会.高等数学（一）[M].北京：高等教育出版社，2013.