探析高中数学解题中运用构造法的措施

☉浙江省宁波外国语学校罗文静

探析高中数学解题中运用构造法的措施

☉浙江省宁波外国语学校罗文静

随着新课改的进一步深入，以及新课标所出台的一系列措施，给高中数学解题教学带来了一定的挑战.因此，这就需要数学教师务必根据学生的实际情况，并结合新课改下高中数学教学大纲内容，切实地对数学解题的新思维和新模式进行深入的探究，将构造法合理地运用到数学解题课堂当中，让学生通过运用构造法解决数学难题，从而有效提升他们的数学解题效率.

一、构造法的含义和意义

构造法旨在根据题设条件和结论所具有的一些特点与性质，进一步地构造出符合条件和结论的数学形式，能够将解题过程中的“未知”条件转化为“已知”量，以达到有效快速地帮助学生解决问题的过程.［1］著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”这句话主要是说构造法在实际运用当中是通过较为直观的图形来表示已知量和解题的关键所在，从另外一个角度来看，也就是说在确定论证之后通过数形结合进行解题的过程.可见，构造法在实际的运用中，不仅是通过图形来实现解题，同时在函数、方程、向量等解题当中也发挥着重要的作用.在数学学习中，大部分的学生比较擅长于运用方程和函数等进行解题，而方程与函数作为构造法使用的辅助工具，在解题过程中，不仅加强学生对当前知识的学习，还进一步地巩固了他们所学的知识.同时，构造法的使用还会借助于构造模型，从而获得解题的技巧.而构造模型方法的使用，进一步地加强了学生创新和思维能力的培养.

二、高中数学解题中构造法的具体运用分析

在数学教学中，解题教学作为其中一种重要的教学方式，在一定程度上影响着学生的数学成绩.因此，解题思想也被称为数学思想的主线，而在解决数学问题过程中，构造法的运用范围也就越来越广泛，以下就针对构造法在函数解题、方程解题及向量解题中的具体运用进行分析.

1.构造法在函数解题中的运用

函数构造作为高中数学解题过程中最常使用的一种构造方法，不仅能培养学生的解题思想，还能提高他们解答实际问题的能力.而函数作为高中数学解题的重点之一，在函数学习中，不仅要教会学生掌握解题技巧，同时还要培养他们的解题思想.解题思想作为数学解题中的关键，特别是在代数和几何类型题中均含有函数思想，因此在解题过程中，灵活合理地运用函数构造，可将抽象问题具体化，繁杂问题简单化，从而达到解题的目的.同时在函数构造转化过程中，充分地发散学生的思维能力，并逐步培养他们对问题解答的创造性思维.

例1已知a，b，c∈（0，1），求证a（1-b）+b（1-c）+ c（1-a）＜1.

分析：对于这道题的条件和结论都有一定的对称性，如果直接证明，有一定的难度.但是采取构造法，那么这道题就能快速地得到解决.

证明：通过构造函数f（a）=（b+c-1）a+（bc-b-c+1）.

因为b，c∈（0，1），所以f（0）=bc-b-c+1=（b-1）（c-1）＞0，f（1）=（b+c-1）+（bc-b-c+1）=bc＞0.

而f（a）是一次函数，它的图像是一条直线，所以当a∈（0，1）时，恒有f（a）＞0，即（b+c-1）a+（bc-b-c+1）＞0，整理可得a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）＜1.

2.构造法在方程解题中的运用

方程构造在高中数学解题过程中也是最为常见的构造方法之一，对高中生来说并不陌生.在高中数学学习中，不难发现方程和函数直接有着十分密切的联系，它们都是根据题型所给出的结构特征、数量关系，进行假设组成一个或者多个等量式子.能够将抽象化的题型转化为更加具体和简单的问题，从而有效地提高学生解题的速度和质量.［2］

例2已知a、b、c为实数，且满足a=6-b，c2=ab-9，求证a=b.

分析：从题型的已知条件来看，很难找到解题的突破口，但是通过方程构造，能够迅速地找到解题的思路.

解：根据已知条件可以得出a+b=6，ab=c2+9，由此可以看得出来，a、b很像一元二次方程的两个根，根据所学的韦达定理，构造方程t2-6t+（c2+9）=0，因为Δ=（-6）2-4（c2+9）≥0，即36-4c2-36=-4c2≥0，所以c2≤0.又因为c是实数，所以c2≥0，所以a=b.

3.构造法在向量解题中的运用

向量作为高中数学教学内容的重点部分，同时也是数学解题中运用十分广泛的知识点.对于一些难以理解的题目，通过构造向量能够快速地找到解题思路，这样一来，既能节省大量的解题时间，又能进一步地提高解题效率.特别是对于一些较为复杂的不等式结构，比如a1a2+b1b2，可以运用向量的数量积来表示，将原不等式适当地转变形式，从而为不等式的证明提供新的解决方法.

分析：对于这道题的证明，我们可以将要证明的左边进行适当的转变，这样正好符合a1a2+b1b2+c1c2的结构，因此，我们可以采取向量的数量积来表示，并利用x·y≤|x||y|的性质，就能轻而易举地证明此不等式.

三、结束语

学习数学需要具有严密的逻辑性和较强的思维性，是高中学生所要掌握的基础学科.众所周知，高中是学习任务最重，同时也是学习压力最大的时期，在高中阶段安排的众多课程中，数学一直都比较难以被学生掌握，从而导致部分学生对数学逐渐丧失信心甚至失去学习数学的积极性.所以，这就要求数学老师在讲解数学习题的过程中，要适时运用构造法，发挥构造法的效用，根据分析题型得出的假设条件和结论，从不同角度采取新的教学观念进行观察与分析，理清解题思路，并按照题型的问题和条件，多去寻找适合解答此题的构造方法，从而有效地减少高中生在数学解题学习上的时间，并对提高学生的抽象能力和逻辑思维能力有一定的帮助.综上所述，构造法在高中数学解题教学中具有十分重要的意义.F