探究高中数学函数的值域及求解方法

贾珊珊

[摘要]《高中数学新课程标准》的基本理念指出在数学教学的过程中，要积极倡导学生自主学习，培养学生在数学学习的过程勇于探索的学习方式，函数在高中阶段是非常重要的，函数具有三要素：定义域、值域、对应法则，其中起决定性作用的是定义域和值域，定义域和对应法则共同确定了值域。所以值域是一个很重要的部分，往往学生更注重函数定义与定义域的理解，对于值域的掌握就不会太重视，但是在高考中，求解函数的值域也占有一定的比例，接下来研究研究函数的值域及求解方法。

[关键词]函数；函数的值域；方法

就高中数学求函数的值域的问题，从不一样的观点，多角度的思考，选择不同的方法去解决函数值域问题，进而得到的正确的答案。函数的值域的定义如下：一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。

一、直接法

通过题目了解数学题的特征，一些基本的数学题就可以直接做得到答案。

例 求y=2x+1，x∈{1，2，3，4，5}的值域。

解 讲x=1，2，3，4，5分别代入y=2x+1。

计算得到函数的值域为{3，5，7，9，11 }。

二、观察法对给出的函数，根据已知函数的性质，判断出函数的值域。

例 求y=x+1，x∈{1，2，3，4，5}的值域。

解 因为函数的定义域为{x|x≥0}，

所以x≥0，所以x+1≥1。

即函数y=x+1的值域为[1，+∞）。

三、分离常数法

当函数的形式为分式时且满足y=ax+b[]cx+d（其中a，b，c，d是常数，且ac≠0），对于求这样的函数的值域，就可以直接运用分离常数法，关键点在于找到合适的式子，进行变形，将分子常数分离。

例 求y=x[]x+1的值域。

解 因为y=1-1[]x+1，定义域为{x|x≠1}，

所以1[]x+1≠0。

所以y≠1，即函数y=x[]x+1的值域为{y|y≠1}。

四、配方法

例 求y=5+4x-x2的值域

解 因为y=5+4x-x2=-（x-2）2+9，又由5+4x-x2≥0。

即x2-4x-5≤0，（x+1）（x-5）≤0，-1≤x≤5。

所以函数的定义域为[-1，5]。

故当x=2时，y取到最大值3；当x=-1或5时，5+4x-x2=0

所以函数y=5+4x-x2的值域为[0，3]。

五、函数单调性法在学习函数的单调性之后，运用单调性求函数值域。

例 求函数y=x+2x-1的值域。

解 因为2x-1≥0，所以x≥1[]2，又因为是递增的，2x-1也是递增的。

即f（x）是递增的，所以f（x）≥1[]2，所以y≥1[]2。

六、数形结合法结合函数图像或将问题转化为几何问题，使解题思路简单化，易于理解。

例 已知y=|x-a|+|x-b|，求y的值域。

解 设在数轴中，点P（x，0）到A（a，0），B（b，0）两点的距离的和。

P1，P2代表点P与点A，B的位置的变化，所以可以得到y≥|a-b|。

七、判别式法

利用“Δ”判别式，其中函数的形式是分数形式，分子分母均是二次式且不能有公约式，分母的二次项不能为零，函数的定义域是R，一般函数的形式为y=a1x2+b1x+c1[]a2x2+b2x+c2，通常将函数化为等式后，要讨论x2的系数是否为0。进而确定y的取值范围，即得函数的值域。

例 求y=x+1[]x2+x+1的值域，x∈R。

解 由题得yx2+yx+y-x-1=0。

yx2+（y-1）x+y-1=0，必有实根。

当y=0时，-x-1=0，x=-1。

当y≠0时，（y-1）2-4y（y-1）≥0。

所以-1[]3≤y≤1。

综上所述，求函数的值域，对于不同的函数，要采取不同的方法去解决，在具体的求一个函数的值域时，需要仔细审题，找出函数的关键点，根据函数的特征，选择正确的恰当的解决方法，一般情况下，首先考虑直接法，在解题过程中，要注重知识的系统性，方法步骤的严谨性，综合运用求解函数值域的方法。

[参考文献]

[1]教育部。普通高中数学课程标准（实验）。北京：人民教育出版社，2003。

[2]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心。普通高中课程标准实验教科书·数学必修1（A版）。3版。北京：人民教育出版社，2007。

[3]刘勇军。 高中数学教与学。第六期，2011。