解的存在唯一性定理中玃icard逐步逼近法引理另证z

王思澄

[摘要]解的存在唯一性定理是常微分方程理论中最基本的定理。为证明一阶微分方程的解的存在唯一性定理，常见的做法是采用Picard逐步逼近法。本文对Picard逐步逼近法证明中常用的引理采用了其他证法。

关键词：一阶微分方程；解的存在唯一性定理；Picard逐步逼近法

引 言

常微分方程的解的存在唯一性定理明确肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。另一方面，由于能求得精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法（包括数值解法）具有十分重要的实际意义，而解的存在和唯一又是进行近似计算的前提。

定理（解的存在唯一性定理） 如果f（x，y）在矩形域R上连续且关于y满足利普希茨条件，则dy[]dx=f（x，y），这里f（x，y）是在矩形域 上的连续函数。该方程存在唯一的解y=φ（x），定义于区间|x-x0|

φ0（x）=y0

φn（x）=y0+∫xx0f（ξ，φn-1（ξ））dξ，

x0≤x≤x0+h（n=1，2，…）

下面主要探究了该逐步逼近函数序列的一个引理的其他证法。

引理

函数序列{φn（x）}在x0≤x≤x0+h上是一致收敛的。

证明 易知|φn（x）-φn-1（x）|≤L∫xx0|φn-1（x）-φn-2（x）|dt。

而|φ1（x）-φ0（x）|≤b（其中b为任意正常数）

|φ2（x）-φ1（x）|≤L∫xx0|φ1（t）-φ0（t）|dt≤Lb（x-x0）。

|φ3（x）-φ2（x）|≤L∫xx0|φ2（t）-φ1（x）|dt≤b（L（x-x0））2。

由数学归纳法可得：|φn（x）-φn-1（x）|≤b（L（x-x0））n-1。

故当x∈x0，x0+1[]L时，{φn（x）}一致收敛。

下面证明φn（x）在x0+1[]2L，x0+5[]4L

上一致收敛。

首先φn（x）=y0+∫xx0f（t，φn-1（t））dt，

φnx+1[]2L=y0+∫x0+1[]2Lx0f（t，φn-1（t））dtφn（x）-φnx0+1[]2L=∫x0x0+1[]2Lf（t，φn-2（t））dt。

φn-1（x）-φn-1x0+1[]2L=∫x0x0+1[]2Lf（t，φn-2（t）dt。

φn（x）-φnx0+1[]2L-φn-1（x）+φn-1x0+1[]2L=∫xx0+1[]2Lf（t，φn-1（t））-f（t，φn-2（t）））dt≤∫xx0+1[]2L|f（t，φn-1）（t））-f（t，φn-2（t））|dt≤L∫xx0+1[]2L|φn-1（t）-φn-2（t）|dt。

|φn（x）-φn-1（x）|≤L∫x0x0+1[]2L|φn-1（t）-φn-2（t）|dt+φn-1x0+1[]2L-φn-2x0+1[]2L

≤L·2b·3[]4L+bLx0+1[]2L-x0n-1=2b·3[]4+b·1[]2n-1≤2b·3[]4+b3[]4n-1。

记B=2b，于是

|φN（x）-φN-1（x）|≤B·3[]4+b·3[]4N-1。

|φN+1（x）-φN（x）|≤L∫xx0+1[]2L|φN（t）-φN-1（t）|dt+φNx0+1[]2L-φN-1x0+1[]2L

≤L·3[]4L·B·3[]4+2b·3[]4N=B3[]42+2b·3[]4N。

同理

|φN+2（x）-φN+1（x）|≤L∫xx0+1[]2L|φN+1（x）-φN（x）|dx

≤L·3[]4L·B·3[]42+2b·3[]4N+3[]4N+1b=B3[]43+3b3[]4N+1。

故以此类推而得：

|φN+2（x）-φN+1（x）|≤B3[]4k+1+3b3[]4N+k-1。

故由Weierstrass判别法，这两项无穷级数均收敛。

综上证明，{φn（x）}在x0+1[]2L，x0+5[]4L

上一致收敛，因此{φn（x）}在x0，x0+5[]4L上一致收敛。

结 语

本文主要针对一阶微分方程解得存在唯一性定理常用证法Picard逐步逼近法中一些引理的证明给出了其他证法。