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秦恺然

立体几何解答题，文科突出考查直观感知和简单的推理论证，比如证明线面平行或垂直，计算几何体的表面积或体积等，不涉及线面角和二面角；理科更注重对空间想象能力和推理论证能力的考查，平行和垂直关系以及计算线面角或二面角都是重要内容，同时，题目的设计兼顾“几何法”和“向量法”.

平行与垂直关系

例1 如图，在直三棱柱中，面和面都是正方形且互相垂直，为的中点，为的中点. 运用向量方法证明：

（1）平面；

（2）平面平面.

分析 从点出发的三条直线，，两两垂直，可建立空间直角坐标系.

证明一 由题意得，，，两两垂直，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方形边长为1，则，，，，，，.

（1）

（2）设平面与平面的一个法向量分别为，.

点拨 空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量法来论证，而用向量法证明空间线线、线面、面面平行或垂直时，实质上转化成直线的方向向量与平面的法向量之间的关系. 利用空间向量证明平行与垂直的方法与步骤如下. （1）坐标运算法：①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；②建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；③通过空间向量的运算研究平行、垂直关系；④根据运算结果解释相关问题. （2）基向量运算法：①选基向量，要尽量选用三个不共面的且夹角最好为90°（其次为60°或120°）、模长或其关系已知的向量为基向量；②将相关向量用基向量表示；③将证明问题转化为向量的运算；④根据运算结果得结论.

直线与直线或面的夹角

例2 如图，长方体中，，，，点，分别在，上，. 过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. 求直线与平面所成角的正弦值.

分析 由交线围成的正方形，计算相关数据. 以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，并求平面的法向量和直线的方向向量，利用求直线与平面所成角的正弦值.

解 作，垂足为则，，因为为正方形，所以.于是，所以.以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.设是平面的法向量，则即所以可取.又，故.所以直线与平面所成角的正弦值为.

点拨 （1）异面直线所成的角的范围是（0，]. 求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决. 具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角.

（2）直线与平面所成的角的范围是[0，]. 求直线和平面所成的角用的是射影转化法.具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算.而利用向量法求线面角的方法：①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.

二面角

例3 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，为的中点. 求二面角的余弦值.

分析 建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，平面AEF的法向量易得，只需求平面AEB的法向量. 设平面AEB的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量，再根据二面角公式求出法向量的余弦值.

解 取的中点，连接，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为，平面的法向量，则，二面角的余弦值. 又二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.

点拨 二面角的范围是（0，π]，解题时要注意图形的位置和题目的要求.

（1）作二面角的平面角常有三种方法：棱上一点双垂线法、面上一点三垂线法、空间一点垂面法.

（2）利用空间向量求二面角可以有两种方法. 一是利用二面角的平面角的定义，分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小. 二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为和，则二面角的大小等于两个平面的法向量的角或其补角，设二面角为，即=（或=）. 利用两个平面的法向量求二面角时，要注意观察两个半平面所成角的范围，或者题目要求.

探索性问题

主要考查空间几何体中寻找使结论成立的条件或探索使结论成立的点是否存在等问题，全面考查大家立体几何及空间向量知识的应用，同时考查空间想象能力、逻辑思维能力、探究能力和运算能力以及函数与方程思想.

例4 如下左图，在三棱台中，分别为的中点. 若平面，，，求平面与平面所成的角（锐角）的大小.

分析 思路一：连接，设，连接证明两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作于点，作于点，连接，证明即为所求的角，然后在三角形中求解.

所以平面与平面所成角（锐角）的大小为.

点拨 （1）利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，它无需进行复杂的论证推理，只需通过坐标运算进行判断，但对运算有较高要求，运算结论要准确. （2）解题时，注意把要成立的结论做为已知条件，据此列方程或方程组，把存在性问题转化为“点的坐标是否存在，在限制范围内是否有解”等，因此把空间问题转化为运算问题，使问题的解决变的简单更有效.