关注学生随机感受，激发数学思维

黄艺弘

可能性大小的问题是“统计与概率”领域的经典内容。看似简单的可能性问题，潜藏着一些似是而非的事物。因此，在教学北师大版五年级上册“摸球游戏”时，笔者将教学目标定位为“丰富学生对随机现象的感受与理解，体验数学思维的乐趣”。教学时，借助摸球游戏，让学生体会到：每一次摸的结果事先都不知道，但是通过摸得到的数据获取信息，从而对总体做出一些推断。力求在教学中丰富学生对随机现象的体验，激发他们对可能性大小的思考。

一、动手操作，初步体验随机现象

针对“摸球游戏”的核心问题“可能性”，学生对其理解最大的盲点是随机的独立性，即袋中有黄球，我们总有机会摸到黄球，但第几次能摸到黄球则无法确定，不受实验者主观判断的影响，而这恰恰是“可能”这一概念最本质的东西。所以笔者思考，在课程中设置学生感兴趣的摸球活动，促使学生先猜后摸，让学生既体会了随机，又感受到了数据中蕴含着的信息。

【环节设计1】

师：袋子里放有黄白两种颜色的球，想知道哪种颜色的球多一些？怎么办？

生：打开来看看就知道了。

师：如果不直接看，还有其他方法吗？

生：摸摸看。

教师揭示课题：“摸球游戏”。

先来看看游戏规则：

（1）摇一摇再摸，每次摸一个，摸完后放回袋子里。

（2）先猜再摸，每人轮流摸三次。

（3）做好记录，并统计全组摸到的结果。

（学生小组活动）

师：我先调查一下，有哪些同学三次都猜对了？

师：假如让你们继续往下摸，你们能保证每次都猜对吗？（不能）

师：是啊，两种球都有，每种球都有可能被摸到，但每次摸到什么颜色的球则无法事先确定。

二、收集数据，处理好概率与统计的关系

《义务教育数学课程标准（2011）》提出要通过数据分析体验随机性，所以可能性的认识离不开统计。实际教学中，我们可借助“摸球活动”，让学生们去摸，摸到一定程度的时候，学生发现摸出白球的次数比黄球的次数多，由此推断袋子里白球可能比黄球多，像这样通过观察、整理收集到的数据，再根据数据进行一些推测，初步体会可能性的大小与球的数量有关，其实就是统计的过程。

【环节设计2】

引导学生观察汇总数据：

（1）各组共摸出了多少次白色的球？多少次黄色的球？（大多数情况如表2数据：每个小组都是白多黄少）

由此推断，你认为袋中哪种颜色的球数量可能会多些？哪种少些？（白球多，黄球少）

（2）打开袋子看看，并将你的推断与实际情况相比较。

得出：因为袋子里装的白球多一些，所以摸到白球的次数多一些，也就是说摸到白球的可能性会大一些。

预设：也可能出现有个别小组摸出黄多白少的情况。

分析：摸的次数不够多，出现这种现象是有可能的，可以采用把十个小组的数据加起来进行比较等方法。

小结：通过刚才的研究，我们发现哪种球的个数多一些，摸到的次数就可能多一些，哪种球的个数少一些，摸到的次数可能会少一些。

再追问：有了这样的发现，如果老师也来摸一个，也像刚才那样，先猜后摸，这回你会猜我可能摸到的是什么颜色的？

教师给每个小组准备的活动材料是4个白球、2个黄球，主要基于以下思考：（1）结论的得出需要依赖足够多的实验结果的支撑。（2）按2∶1的比例放球时，就可能出现个别小组统计结果与猜想相悖的情况。这样可组织学生进行讨论，反思其原因，并寻找解决策略（如增加摸球次数、统计全班摸球结果等），从而使学生更为深刻地理解随机的思想。如果放的白球比黄球多很多，学生试验的乐趣相对来说就会减弱许多，再者这样刻意避免小概率事件（摸到黄球的次数比白球多）的产生也不利于学生真正理解随机性。这两个环节的教学，让学生从模糊的、探索性的猜，到结合数据进行判断、推测得出结论后，再进行有根据的、巩固性的猜，真正让学生的数学思考方法和思维水平得到一定的提升。

三、观察思考，间接体验随机现象

学生理解可能性是有一定难度的。在实际教学中，由于受试验条件的限制，甚至由于教师本身对可能性的认识有偏差——通过试验去验证可能性的大小，反而出现让学生难以信服或违背直觉的说法，以至于某些错误的概念顽固得难以消除。基于此，笔者认为通过设置一些让学生最容易产生迷惑的间接的摸球体验活动，步步逼近，逐步引导，丰富学生对随机现象的感受与理解。

【环节设计3】

五年级三班的同学们也在玩“摸球游戏”（出示课前录制的视频，每次都摸到白球）。猜猜，他们的袋子里装着的是什么颜色的球？（全是白球）

展示结果：白球8个、1个黄球。

分析：明明袋子里有黄球，为什么8次都没摸到？是不是永远也不可能摸到黄球。（让视频继续播放到摸到黄球为止）

学生联系前面试验得出的结果分析：因为袋子中黄球的个数较少，所以摸到黄球的可能性比较小。

再连续两次逐渐增加白球个数。（黄球还是一个，很多个白球）

追问：还有可能摸到黄球吗？得出：球的总数不断增多，但黄球只有一个，摸到黄球的可能性会越来越小，但只要袋子里有黄球，就有可能摸到黄球。

再变：一个黄球也换成白球，全部是白球——一球之差，可能就变成不可能了。

前面的教学环节先让学生分组经历“猜测―操作―验证”等一系列数学活动，在头脑里形成粗糙、笼统的认识，让他们对可能性的大小有了初步的理解。再通过这个环节看视频——连续摸到的都是白球，猜测袋里放着都是白球吗？学生的数学思维不断地受到冲击，认知结构不断重建并且与概念的本质逐步趋同。同时，学生对随机性的感受上升到“只要有一粒黄球，就有可能摸到黄球”的高峰体验，从中渗透极限的数学思想，这样学生经历了一个对数学知识的理解由浅入深的过程。

在2011版《课程标准》中，降低了对可能性的内容的要求。但对于“随机”的学习要求并没有减弱，而是换了一个角度，从数据分析来体会随机现象，因此，我们应深入挖掘，尽可能地创造生动有趣的情境，通过猜测、试验、游戏等活动，鼓励学生用真实的数据活动以及直观的多次模拟试验与相互交流质疑去检查、修正或改正他们对可能性大小的错误认识，真正形成良好的数据分析观念。

（作者单位：福建省泉州市第二实验小学）