高中数学分类讨论策略的应用研究

黄美玉

摘 要：分类讨论是高中数学最常用的解题方法之一，其不仅是一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想。与分类讨论有关的数学问题具有很明显的逻辑性、综合性和探索性，其能够有效地训练学生思维的条理性和概括性，也是近年来高考试题中常用的解题方法。下面我就结合自己的教学经验，简单介绍一下高中数学分类讨论策略的应用。

关键词：高中数学；分类讨论；应用

中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2016）06-001-02

在解答一些数学问题时，有时会出现多种情况，对各类情况进行逐类求解，然后再综合归纳，这就是我们常说的分类讨论法。运用这种方法解题，可以将对问题的宏观研究变为对问题的局部分析，尤其是在求解的头绪繁多、有易重易漏问题时，分类讨论方法有独特的功效。需要进行分类讨论的情况有很多，其中最常见的有以下四类：一是根据绝对值的定义进行分类讨论；二是根据函数定义域等定理限制进行分类讨论；三是根据图形位置进行分类讨论；四是根据运算的要求进行分类讨论。其解题的一般思路有三个步骤：首先，弄清分类原因，找准分类对象；其次，选择分类标准，正确做出分类；最后，明确分类层次，优化分类顺序。下面我就来简单说明一下。

一、根据绝对值定义进行分类讨论

数学中的有些概念是分类定义的，像是绝对值、分段函数等，这就要求我们在解题时不能一概而论。而要根据题目的具体情况对其进行分类讨论。

例1.解不等式|2x+1|+|x-1|>6.

分析：该题中含有绝对值，我们在解题时首先想到的是要去掉绝对值，但是由于两个绝对值符号去掉的条件不同，我们要对此进行分类讨论。

解：令2x+1=0，得x=-；令x-1=0，x=1

可见在实数集内应以-，1为分类标准，分成三个区间讨论求解：①当x≤- 时，原不等式可化为-2x-1+1-x>6，解得x<-2；②当-6，解得x>4；③当x>1时，原不等式可化为2x+1+x-1>6，解得x>2.

综上，x<-2或x>2，故原不等式的解集为{x| x<-2或x>2}.

评注：在涉及到绝对值的问题时，我们经常都需要分类讨论，最常用的方法是零点讨论分类，先去掉绝对值的符号然后再进行求解。下面我们来看一道在函数中对绝对值符号进行分类讨论的例题。

例2.已知a∈R，函数f（x）=x2|x-2|.求使f（x）=x成立的x集合。

分析：由于该题中含有未知数，也含有绝对值，我们首先就要想到将绝对值符号去掉，那么要对x的取值情况进行讨论；另外，由于该题中并没有给出x的取值范围，那么我们在做题时就要充分考虑到各种情况，以免造成疏漏。

解：由题意可得x2|x-2|=x.当x≠0时，该式可化为x|x-2|=1，此时：①当x>2时，该式可进一步化为x2-2x-1=0，得x=1±√2（1-√2不合前提舍去）；②当x≤2且x≠0时，该式可进一步化为2x- x2-1=0，即（x-1）2=0，得x=1.③当x=0时，显然满足f（x）=x.

综上，满足f（x）=x的x的集合为{x| x=0或x=1或x=1+√2}.

评注：该题的解题思路虽然有些复杂，却是常规思路。在进行分类讨论时，我们一定要注意将每种条件下得出的结果与原始条件进行对比，若是不符合条件则要舍去该答案，如本题中的x=1-√2，显然不满足小前提x>2，故舍去。面对复杂的分类讨论问题时，尤其是面对多级的分类讨论，我们一定要逐级思考，并逐级分析，最后再将结果进行汇总综合，切忌越级思考，学习不是一蹴而就的，解题时更要循序渐进，否则难以理清问题的头绪，使问题变得更加复杂。在分级时由小到大（或由大到小）依次进行讨论可以避免遗漏。

二、根据函数定义域等定理限制进行分类讨论

在有关函数的问题中，由于受到函数定义域的限制，我们在解题中常常会对题目进行分类讨论，由于每种函数都有其不同的分类原则，对数函数的底数和真数等；三角函数中不同角的分类讨论等。对于复合函数则需要我们综合进行考虑，如考虑两类函数的图像问题。由于此类问题非常庞杂，我们暂不做介绍。下面我就以二次函数中对两根大小的讨论为例来进行说明。

例3.解关于x的不等式x2+（a2+a）x+a3>0.

分析：该不等式中的a为常数，要解该不等式，可以先将原不等式进行变形，然后再讨论根的大小。在讨论根的大小时，我们要综合考虑到所有情况，尤其是特殊的情况，像是为零等。我们在做题时，为了避免造成解题的疏漏，分类讨论中的特殊情况可以率先进行分析。

解：原不等式等价于（x+a）（x+ a2）>0，所对应的方程的两根为-a，-a2.①当a>1或a<0时，有-a>-a2，所以不等式的解集为：{x|x<- a2或x>-a}.②当a=1或a=0时，有-a=-a2，所以不等式的解集为：{x|x∈R 且x≠-a}.③当0-a2}.

评注：该题为对不等式的两根的大小情况进行分类讨论，在做题时要注意常数为零的情况。根据题目的不同情况，在做题时学生要综合考虑根的情况，不缺项漏项，只要在平时的做题中注意总结与反思，将解题的策略与方法进行整理，并充分考虑到特殊情况，那么用分类讨论的思想来解题就极其容易了。

三、根据图形位置进行分类讨论

在高中数学的平面几何问题中，常有因为图形的性质不同而引发的分类讨论。若是不注意对图形的观察，采用固定的思维模式，很可能考虑不全，从而失分。

例4.已知在直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且点C的坐标为（1，0）.直线l过点A（-1，0），与⊙C切于点D.（1）求直线l的解析式。（2）在直线l上寻找点P，使△APC为等腰三角形，求点P的坐标。

分析：该题要使△APC为等腰三角形，由于没有说明顶点与腰分别是哪个，因此，就要对该图形的形状进行分类讨论。

解：（1）略解：连结CD，应用点斜式方程可得直线l的解析式为y= x+.

（2）以等腰△APC的顶点为标准分类讨论： ①当P为△APC的顶点时，则AC的中垂线为y轴，它与l的交点P（0，）为所求；②当C为△APC的顶点时，则点P与点A关于CD对称（因为CD⊥AP），易得P（2，√3）为所求；③当A为△APC的顶点时，则在l上点A的两侧分别存在两个点满足条件，运用三角函数知识可得P（-√3-1，-1）或P（√3-1，1）为所求。

评注：在进行分类讨论时，要找准分类的标准。解析几何中图形的位置不同，形状不同，其点的坐标就会发生变化。

四、根据运算的要求进行分类讨论

有些数学运算由于有严格的限制，我们在解题时必须按照一定的要求进行。这就要求学生要综合掌握数学知识，并能将其熟练运用，融会贯通。像是分数的分子不为零等。对数中的真数部分必须要大于零等，将这些小知识点渗透到综合题中，也是近几年常见的考点之一。

例5.已知===k，求一次函数y=kx+k一定经过的象限。

分析：要求一次函数一定经过的象限，那么就要知道函数的关系式，即斜率k的值，那么就要根据已知条件进行求解。

解：由已知，得b+c= ak ，c+a =bk ， a+b =ck，将三式进行相加，得2（a+b+c）=（a+b+c）k.

当a+b+c≠0时，得k=2；

当a+b+c=0时，得b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，可得：k=-1.

综上，一次函数的解析式为y=2x+2或y=-x-1。函数y=2x+2的图像经过第一、二、三象限，函数y=-x-1的图像经过第二、三、四象限，因此其一定经过的是第二、三象限。

评注：根据数学运算的要求分类讨论，主要是要对数学问题的定理、运算定律等掌握，形成条件反射，在进行运算时就能自然而然地考虑到特殊的情况，进而得出问题的完整而正确的解。

分类讨论不仅仅是一类题型，更是一种重要的解题思想，有变量就有分类讨论的可能，因此我们不可能将分类讨论的类型全部进行总结。但是在处理此类问题时也有一定的原则，即分类准确，不重复不遗漏。要想做到这一点，要遵从两个步骤：一是要找关键点，并以关键点为分界依次进行分析；二是在多级分类时，要逐级讨论，切忌跳级讨论。

总之，我们在进行高中数学的教学时，传授给学生知识只是一个小方面，我们更要注重对学生学习能力的培养。另外，数学问题的分类讨论思想是培养学生概括性与条理性的有效手段。学生掌握了数学分析的思想，不仅有助于学生在解题时快速而准确地找到解题的思路，提高解题的效率，还有助于学生运用这种思维方式解决生活中的实际问题，养成学以致用的好习惯，从而在不知不觉中促进自己能力的全面提升。

[参考文献]

[1] 石成效.高中数学专题复习与研究中用分类讨论的思想解题

[J].语数外学习（高中版上旬）.2015（06）

[2] 张红军.数学基本思想方法的探讨——分类讨论思想[J].新课程（教研）.2010（06）