胸中有术方能应用机械能守恒定律

沈阳

机械能守恒定律是高中力学一个非常重要的规律，在中学物理解题中有比较广泛的应用.下面就谈谈机械能守恒定律的有关问题.

一、机械能守恒定律的内容

在只有重力和弹力（内力）做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，机械能的总量保持不变.

二、对机械能守恒定律的理解

机械能守恒定律的研究对象是包括地球在内的物体系.机械能包括动能、重力势能和弹性势能.

（1） 重力的功不改变物体系的总机械能.如果只有重力做功，重力做多少正功，物体的动能就增加多少，或重力势能就减少多少；重力做多少负功，物体的动能就减少多少，或重力势能就增加多少，而物体系的机械能总量保持不变.

（2） 弹力（或系统内力）的功也不改变物体系的总机械能.如果只有弹力做功，弹力做多少正功，物体的动能就增加多少，或弹性势能就减少多少；弹力多少负功，物体的动能就减少多少，或弹性势能就增加多少，物体系的机械能总量保持不变.

所以在只有重力和弹力（内力）做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，机械能的总量保持不变.

对于质量一定的物理而言，其动能由其速度大小决定，其势能的大小则由其相对位置决定，速度和位置又确定了物体的运动状态.因此物体的机械能由物体的运动状态决定.

机械能守恒定律反映了物体的不同运动状态之间的联系，运动状态的变化过程隐含其中.物体的状态量是其在某时刻（或某些确定位置上）的状态量用同一个方程联系起来，为解决力学问题提供了一条简捷的思路.即应用机械能守恒定律解题，完全可以不考虑过程的细节，只要根据始末状态建立方程求解即可，于是问题得到简化.

三、机械能守恒定律的条件

机械能守恒定律是有条件的，对隐含的物理过程有一定的限制，这些过程应是只有重力和弹力（内力）做功的过程.在这样的过程中发生的只是动能与势能的相互转化.机械能守恒的条件有以下三种情况：

（1）若物体系内只有重力和弹力做功，只有动能和势能间的相互转化，则机械能保持不变.

（2）若物体系内除重力、弹力以外的其他内力不做功，或做功的代数和等于零，则机械能守恒.

（3）若物体系受到的外力不做功或做功的代数和等于零，则机械能守恒.

四、机械能守恒定律的数学表达形式

机械能守恒定律的数学表达有以下三种形式：

（1）E1=E2，即物体系在末态的机械能等于初态的机械能.

（2）ΔEp=-ΔEk，即物体系势能的减少（或增加）等于其动能的增加（或减少）.

（3）ΔE=0，即物体系机械能的变化量为零.

五、应用举例

在运用机械能守恒定律解题的过程中，应先根据题设物理情景、已知条件，合理地选择系统，分析各力做功情况，确定始末状态，判断系统是否满足机械能守恒定律的条件.若能够满足，再根据上述机械能守恒定律的数学表达式建立方程求解.为了使解题简捷，应根据题设条件灵活选用机械能守恒定律的数学表达形式解题.若用第一种表达形式解题，应设零势能参考平面，若用后两种数学表达形式解题，则无需设零势能参考平面.

例1如图1所示，一小球用不可伸长的轻绳悬于O点，在O点正下方的B点有用固定的钉子，OB=d.初始时小球处于与O点同在一水平面上的A点，且无初速释放.设绳长为l，为使小球能绕B点做圆周运动，试求d的取值范围.

解析设小球过C点时的速度为v，要使小球能绕B点做圆周运动，应满足条件

mg≤mv2r（1）

在小球从A点运动到C点的过程中，因为只有重力做功，绳子的拉力不做功，所以机械能守恒.取过C点的水平面为零势能面，则根据机械能守恒定律E1=E2有

mg（l-2r）=12mv2（2）

联立（1）、（2）可求得r≤25l（3）

而l=d+r，把③代入上式可得d=l-r≥35l，故d的取值范围为35l≤d

例2如图2所示，质量为m的小球A、B、C用两条长为l的细绳相连，置于高为h的光滑水平桌面上，l>h，A球刚跨过桌边.若A球、B球相继下落着后均不再反跳，则C球刚离开桌边时的瞬时速度多大？

解析在A球下落的过程中，取A、B、C这三个小球为研究对象.由于只有重力做功（绳子的拉力做功代数和为零），所以机械能守恒.取水平桌面为零势能面，则根据机械能守恒定律E1=E2有0=-mgh+3×12mv21，则v1=23gh.

在B球下落的过程中（A球已不再与B球发生作用），取B、C两个小球为研究对象，因只有重力做功，满足机械能守恒定律，则E1′=E2′，故有

2×12mv21=-mgh+2×12mv22，则v21=53gh.

因此B球落地后，C球将以v2的速度离开桌边向下运动.例3如图3所示，质量为m的物体被拴在长度为l的细绳一端，将绳的另一端固定.一质量为m0的子弹以一定的水平速度射入木块并留在其中.不计空气阻力，欲使木块（包括其中子弹）刚好在竖直平面内作圆周运动，求子弹射入木块时的速度是多大？

解析本题所述物理过程可分为两个子过程：子弹射入木块的子过程和木块（包括其中的子弹）在竖直平面内作圆周运动的子过程.

在子弹射入木块的子过程中，由于有滑动摩擦力做功，子弹与木块组成的系统机械能不守恒.但子弹与木块组成的系统在水平方向上不受外力，故水平方向动量守恒.

设子弹射入木块的初速度为v0，射入后的共同速度为v1，则由动量守恒定律有

m0v0=（m0+m）v1，

此后木块（包括其中的子弹）在上摆的过程中，只有重力做功，机械能守恒.设刚好能在竖直平面内做圆周运动，在最高点时的速度为v2.设圆周最低点所在水平面为参考平面，则有

（m0+m）v21=（m0+m）g·2l+12（m0+m）.

在圆周最高点，重力提供向心力，则有

（m0+m）g=（m0+m）v22l.

联立以上三式可解得v0=m0+mm05gL.