电学教学及竞赛中含源电路的简化和计算

董世金

高中电类课教学及竞赛中解决电路问题时，经常会涉及复杂的含源电路的简化和计算.本文通过具体实例，介绍如何解决这一类问题.

一、简化含源电路的两个基本工具

1.戴维南定理

一个由独立源、线性电阻、线性受控源组成的二端网络，可以用一个电压源和电阻串联的二端网络等效（事实上，也可等效为“电流源和电阻并联的的二端网络”这就是诺顿定理）.

2.基尔霍夫定律

基尔霍夫第一定律：在任一时刻流入电路中某一节点的电流强度的总和，等于从该点流出的电流强度的总和.基尔霍夫第二定律：在电路中任取一闭合回路，并规定正的绕行方向，其中电动势的代数和等于各部分电阻（在交流电路中为阻抗）与电流强度乘积的代数和.

二、含源电路的简化和计算

1.利用戴维南定理

应用方法其等效电路电压源的电动势等于网络的开路电压，其串联电阻等于从端钮看进去该网络中所有独立源为零值（可看做将电源短路，只保留内阻）时的等效电阻.

例1在如图1甲所示电路中，电源ε=1.4 V，内阻不计，R1=R4=2 Ω，R2=R3=R5=1 Ω，试用戴维南定理求通过电阻R5的电流.

分析与解用戴维南定理的目的是将电源系统或与电源相关联的部分电路等效为一个电源，然后直接应用闭合电路欧姆定律.此电路中的电源只有一个，我们可以采用后一种思路，将除R5之外的电阻均看成“与电源相关联的”部分，将电路做“拓扑”变换为图1乙图，这时候，P、Q两点可看成“新电源”的两极，设新电源的电动势为ε′，内阻为r′，则

r′=R1∥R2+R3∥R4=43 Ω，

ε′为P、Q开路时的电压，开路时，R1的电流I1和R3中电流I3相等，I1=I3=ε（R1+R2）∥（R3+R4）·12=715 A，令“老电源”的负极接地，则UP=I1R2=715 V，UQ=I3R4=1415 V，所以ε′=UQP=715 V.

最后将电路演化为图1丙，通过闭合电路欧姆定律得R5中电流大小为0.20 A，方向（在甲图中）向上.

2.利用基尔霍夫定律

应用方法利用基尔霍夫第一定律和第二定律解题，首先必须确定独立方程的个数：

基尔霍夫第一定律的独立方程个数为节点总数减一；基尔霍夫第二定律的独立方程个数则为独立回路的个数.而且，独立回路的个数m应该这样计算：m=p-n+1.

其中p为支路数目（不同电流值的数目），n为节点个数.譬如，在图2所示的三个电路中，m应该这样计算：

甲图，p=3，n=2，m=3-2+1=2；

乙图，p=6，n=4，m=6-4+1=3；

丙图，p=8，n=5，m=8-5+1=4.

以上的数目也就是三个电路中根据基尔霍夫第二定律列出的独立方程个数.

例2在图3所示的电路中，ε1=32 V，ε2=24 V，两电源的内阻均不计，R1=5 Ω，R2=6 Ω，R3=54 Ω，求各支路中的电流.

分析与解这是一个基尔霍夫定律的基本应用，第一定律的方程个数为n-1=1，第二方程的个数为p-n+1=2.

由第一定律得：I3=I1+I2①

由第二定律得：

左回路ε1-ε2=I1R1-I2R2②

右回路ε2=I2R2+I3R3③

代入数字后，从这三个方程不难解出：

I1=1.0 A，I2=-0.5 A，I3=0.5 A.

这里I2的负号表明实际电流方向和假定方向相反.

R1的电流大小为1.0 A，方向向上，R2的电流大小为0.5 A，方向向下，R3的电流大小为0.5 A，方向向下.

例3用基尔霍夫定律解图1甲所示电路中R5的电流（所有已知条件不变）.

分析与解此电路p=6，n=4，故基尔霍夫第一定律方程个数为3，第二定律方程个数为3.

为了方便，将独立回路编号为Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ，电流只设了三个未知量I1、I2和I3，其它三个电流则直接用三个第一定律方程表达出来，如图4所示.这样我们只需解三个基尔霍夫第二定律方程就可以了.

对Ⅰ回路，有I2R1+I1R5-I3R3=0，

即2I2+1I1-1I3=0①

对Ⅱ回路，有（I2-I1）R2-（I1+I3）R4-I1R5=0，

即1（I2-I1）-2（I1+I3）-1I1=0②

对Ⅲ回路，有ε=I3R3+（I1+I3）R4，

即1.4=1I3+2（I1+I3）③

解①②③式不难得出

I1=-0.2 A.（I2=0.4 A，I3=0.6 A）

例4求解图5所示电路中流过30 Ω电阻的电流.

分析与解基尔霍夫第一定律方程2个，已在图中体现.

基尔霍夫第二定律方程3个，分别为：

对Ⅰ回路，有100=（I2-I1）·10+I2·10①

对Ⅱ回路，有40=I2·10+I1·30-I3·10②

对Ⅲ回路，有100=I3·10+（I1+I3）·10③

解①②③式不难得出I1=1.0 A （I2=5.5 A，I3=4.5 A）

流过30 Ω电阻的电流大小为1.0 A，方向向左.

综上所述，利用戴维南定理和基尔霍夫定律两大工具，可以使高中电类课教学及竞赛中复杂的含源电路得以简化，从而达到电路计算的目的.