导数在高中数学解题中的合理应用

任小英

[摘 要] 导数在高中数学解题过程中的运用，最基本的作用是将解题过程变得简单高效，将复杂的高中数学问题简单化，为学生下一阶段的数学学习做一个铺垫.教师在在导数的教学过程中，将理论知识形象化，结合一定的图片表格，让学生能更直观的感受到导数的各性质之间的区别，同时也要注意引导学生将数学知识生活化，这样也能更好地提高学生导数学习的效率.

[关键词] 导数 高中数学 合理应用

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0000

导数是高考出题的热点，这让教师和学生对导数学习的意识也逐渐加强.导数在数学教学中的引入，加深了学生对函数的理解，激发了学生的创新思维，同时引导学生将导数解题的方式运用到实际生活中去，并且对激发学生学习数学的积极性有一定的作用.所以导数是数学教学中有利的辅助工具.注重引导学生用导数进行解题，并且能熟练掌握已成为数学教学的教学目标之一.

一、导数在代数中的应用

导数不是很复杂难学的知识，只要将公式、法则、性质牢记于心，多做练习，自然就能熟练应用.运用导数求极值一般有固定的解题步骤：首先求出f′（x）的根值，根据所得数值，确定根两侧的函数单调性，再根据单调性呈现出来的递增或递减状态，得到相应的最大值或最小值.如果两侧单调性相同，则说明此根处没有相应的极值.

例如，用导数求函数f（x）=-x3+3x2+9x在单调区间[1，5]上的最大值.

解： 函数f（x）的导数为f′（x）=-3x2+6x+9，所以在区间（-1，3）上是单调递增的，即f′（x）>0.在区间（-∞，-1），（3，+∞）上是单调递减的；对于区间[1，5]在[1，3]的范围内f′（x）>0，即是递增，在[3，5]范围内f′（x）<0即为递减，所以根据极值的定义可得出，在x=3处取得最大值，即f（3）=63.

这类题目在高中是常见的基础题型，在某一区间内求取极值的问题，根据导数的定义，在区间内如果两侧符号不同，那就说明这个区间存在极值，以此为根据，有清晰的解题思路，就能快速地解出答案.

二、导数在几何中的应用

导数在几何题目的解答上都能使解题变得更高效简单.学生在导数知识章节的学习中，对于导数的公式和两个函数之间的四种求导法则，可以不用加以过多的证明，但一定要将公式和法则熟记于心，在遇到难题时，能够正确使用相应的步骤和法则.学生在导数知识的学习过程中，也要注意适时的进行总结，对知识有一个连贯性.注重知识的全面运用，可以提升学生自身的综合学习能力.

导数在几何解题的应用也可以有效地提高解题效率.比如常见的给出某M点坐标和曲线c方程，求出最终的切线方程.解题基本上也是有固定的步骤：首先确定M点是否在相应的曲线c上，另外要求得相应的导数f′（x）；根据题目的实际情况会得出不一样的数值，然后结合导数知识根据具体的情况运用相应的方程公式.如果点在曲线上，那么需要用的方程为y-y0=f′（x0）（x-x0）；如果点不在曲线上，那么需要用到的方程为y1=f（x1），y0-y1=f′（x1）（x0-x1），以此为根据，得出具体的x1的值，这样就能求得切线方程.

在几何题目的解答中，合理的应用导数可以使计算方法变得更加简单，通过这种方式可以提高数学题目解答的效率.在高中数学中我们经常会遇到坐标系中切线方程求解.一般的题目都是给出曲线外的一个坐标点，让学生来求解过这个点的曲线的切线方程，这些题目的解答都是通过导数来实现的.

例如：已知一条直线p：x+4y-4=0，以及曲线y=x4，直线p与曲线的一条切线n相互垂直，求切线n的方程.这是一道典型的采用导数来进行解答的曲线切线题目.在解题的过程中，我们要对题目所给的信息进行分析，根据直线x+4y-4=0与切线n相互垂直这一信息，来计算出n这条直线的斜率，然后再求出曲线的导函数.当导函数取具体值的时候，我们就可以将其对应的点坐标求出，这样就可以根据斜率和点的坐标来得出直线的方程.具体解题步骤为：y=x4，求导结果为y′=4x3，直线x+4y-4=0的斜率为-1/4，那么与这条直线垂直的直线n的斜率就是4.我们令y=4x3=4，就可以得出x=1，由此可知，这条直线与曲线的交点，也就是切点的位置就是（1，1），那么对应的切线方程就为y-1=4（x-1），即为y=4x-3.

学生要想在数学解题中很好地应用导数，必须是建立再对导数的概念、性质以及法则等有深刻理解的基础上的.通过导数典型性的应用，可以使一些题目变得一题多解，帮助学生对各个知识点有更加深层的掌握，并在此基础上选择较为简单的方法，更好的解决问题.

总之，导数在高数解题中的运用，有效地帮助学生更快速地解答难题；在有些包含导数、方程组、数列等方面的综合题目，通过使用导数进行解题，可以考察学生的综合思考能力，提高高中数学教学有效性.

[ 参 考 文 献 ]

[1]吴龙福.例析导数在高中数学题目解答中的典型性应用[J].数学大世界：教师适用，2012，（11）：62-62.

[2]郝利军.关于高中数学导数公式的应用研究[J].文理导航（中旬），2014，（8）：19-19.

建议先理论分析，再列举一个具体的例子.

（特约编辑 章 强）