例谈高考含参不等式恒成立问题的求解策略

王德友

[摘 要] 含参不等式的恒成立问题是学生难以理解和掌握的一个难点，是高考常见的题型.教师要引导学生掌握求不等式恒成立中参数范围的常见策略与方法，根据不同的条件，选择恰当的方法，确定不等式恒成立中的参数范围，提高学生的解题能力.

[关键词] 高考 含参不等式 恒成立

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0058

导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，多以解答题的形式出现，难度较大，属中、高档题，含参不等式的恒成立问题就是其中一种考查方式.含参不等式的恒成立问题因其覆盖的知识点多，方法也多种多样，考生普遍存在的问题是：入手易、深入难；会而不对、会而不全.但我们认真研究一下这类问题，还是“有法可依”的.本文结合例子给出解决此类问题的几种策略.

【题目】 （贵州2015适应性试题）设函数f（x）=ax- sinx，x∈[0，π].

（Ⅰ）当a= 1 2 时，求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若不等式f（x）≤1-cosx恒成立，求实数a的取值范围.

答案： （Ⅰ）增区间[0， π 4 ]，减区间[ π 4 ，π].

（Ⅱ）有如下几种策略解决.

策略一：部分分离变量利用数形结合解决恒成立问题，对不等式经过移项等变形，可将不等式化为两边是熟悉的函数的形式，特别是可化为一边为一次函数，另一边是超越函数的不等式问题.对于这类问题，我们常常用数形结合法，先构造函数，再作出其对应的函数的图像，结合图像找出其满足的条件，通过解不等式，求出参数的范围.

解： 原不等式等价于ax-1≤sinx-cosx恒成立.设g（x）= 2 sin（x- π 4 ），h（x）=ax-1，原不等式等价于g（x）≥h（x）在x∈[0，π]上恒成立.作出g（x）的简图，如图所示，端点A（π，1），B（0，-1），求导得g′（x）= 2 cos（x- π 4 ），则g′（0）=1.函数g（x）在点B（0，-1）处的切线方程为y=x-1.该切线在图中与g（x）还有另一个交点，而直线AB的方程为y= 2 π x-1，要使原不等式恒成立，只需a≤ 2 π ，故实数a的取值范围是（-∞， 2 π ].

点评： 如果一些不等式两边的式子函数模型较明显、较容易画出函数图像，可以考虑画出函数图像，用函数图像的直观性解决不等式或方程的恒成立问题.这样可得到意想不到的效果.

策略二：彻底分离参数，将不等式问题转化成函数最值问题.比如，含参数m的不等式恒成立问题可变为f（m）≤g（x）或f（m）≥g（x）在给定区间D上恒成立问题，最终可转化为求函数在给定区间D上的最大值或最小值问题，即f（m）≤g（x）min或f（m）≥g（x）max，然后再解相应的不等式即可.

解： 原不等式等价于ax≤sinx-cosx+1.

当x=0时，a·0≤0恒成立，a∈ R ；

②当x∈（0，π]时，原不等式等价于a≤

sinx-cosx+1 x

.构造函数g（x）=

sinx-cosx+1 x

，求导得g′（x）=

x（cosx+sinx）-sinx+cosx-1 x2

.构造函数h（x）=

x（cosx+sinx）-sinx+cosx-1

，求导得h′（x）=x（cosx-sinx）

.则当x∈（0， π 4 ）

时，h′（x）>0；当x∈（ π 4 ，π]时，h′（x）<0.故函数h（x）在（0， π 4 ）上单调递增；在（ π 4 ，π]上单调递减.所以h（ π 4 ）>h（0）=0，h（π）=-π-2<0.从而x0∈（ π 4 ，π）

，使h（x0）=0.

当x∈（0，x0）时，h（x）>0，g（x）单调递增；当x∈（x0，π）时，h（x）<0，g（x）单调递减.故g（x）的最小值在端点处取得.因g（π）= 2 π

，

lim x→0

sinx-cosx+1 x =

lim x→0

（cosx+sinx）=1

（洛必达法则），所以a≤ 2 π .

综上所述，实数a的取值范围是（-∞， 2 π ].

点评： 该策略把不等式中的恒成立问题转化为求函数最值问题，适用于参数与变量能分离，函数的最值易求出的问题.

策略三：不分离参数，利用比较法构造函数，例如在某个范围内，含参不等式或恒成立，利用作差法可以构造函数，进而只需求或即可，（在条件允许下也可利用作商法构造函数）使问题转化成函数求最值问题求解.

解： 原不等式等价于，构造函数，，求导得.易得在上单调递增，在上单调递减，，，.

当时，①当时，，在上单调递增，，恒成立；②当时，，在上单调递减，，不恒成立；

③当时，，，，使，当时，，单调递减，则有，不恒成立；④当时，，，易知，使，当时，，单调递增，当时，，单调递减，要使在上恒成立，当且仅当解得.综上所述，实数的取值范围.

点评： 虽然是构造函数，转化成求最值问题，但是构造的函数中还含有参数，求最值时就需对参数进行分类讨论.

利用导数解决含参不等式的恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可 分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

（责任编辑 钟伟芳）