数学概念教学应立足几何直观

徐玉钗

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，“几何直观可以帮助学生直观地理解数学”[1]。利用几何直观的直观图形语言帮助学生更好地理解抽象数学语言，将形象思维同抽象思维有机结合是学生学习数学概念、理解概念本质十分重要而有效的手段。因此，在数学概念教学过程中，我们应立足几何直观，形象地揭示知识的形成过程，展现知识的抽象过程，让学生更为深入地理解、领悟概念的内涵。本文以人教版三年级上册“认识几分之一”为例，谈谈如何立足几何直观，帮助学生理解数学概念的内涵。

一、 直观感知，形成表象

数学概念的引入是学生形成概念的初始阶段，是学生学习概念十分重要的环节。小学生的思维特点以具体形象思维为主，在概念学习的初始阶段，如教师能为学生提供实物、图形等直观材料，那么他们就能较轻松地感知概念，从而形成表象。

[片段一]唤起记忆，丰富“平均分”。

一上课，笔者先通过PPT直观演示“切蛋糕”的过程。教师谈话：在日常生活中，我们经常要分东西。你看，老师把一个蛋糕切成两部分。这两部分怎样？（一大一小）如果老师从中间切，这两部分就（一样大），象这样分得的每一份同样大在数学里称为“平均分”。通过简单的对话，唤起学生以前多物平均分的经验，直观认识到“一个蛋糕从中间切，象这样分得的每一份同样大，数学上也称平均分”，从而丰富了学生对平均分的认识，为后续认识几分之一做准备。利用直观图形的动态演示，让学生迅速直观感知，达到事半功倍的效果。

[片段二]两次分类，深化“平均分”。

提供给学生大量的直观材料：

教师提问：“观察这些图形和物体，如果让你分类，你准备怎么分？”片刻沉默后，学生显露激动、兴奋的眼神：“可以把平均分的分一类，没有平均分的分为一类。”一石激起千层浪，在同学的互相启发下大家眼睛一亮，“可以把（1）、（4）、（6）、（8）分为一类，它们都没有平均分。”“（2）、（3）、（5）、（7）、（9）、（10）、（11）、（12）分为一类，它们都是平均分的。”根据学生的回答，笔者利用PPT动态整理了所有图片，隐去不平均分的，留下所有平均分的直观材料，再次引导学生观察、分类，很快学生整理出如下表格：

立足几何直观，笔者抓住分数的本质“平均分”，引导学生在观察、辨析、比较中经历了两次分类，让学生直观地感知图形本身“整体与部分”的关系，初步形成表象。在这一过程中，不仅培养了学生发现“同中隐藏各自不同”的数学眼光，而且还培养了学生透过表面现象发现其中本质的能力。

因此，教学中应选择那些能充分显示概念特征的直观事例，正确引导学生去观察和比较，才能使学生从事例中归纳和概括出它们的本质属性，形成概念。

二、 直观理解，自主建构

建构主义认为，学习不是教师把知识简单地传递给学生，而是学生自己建构知识的过程[2]。当学生对图形本身“整体与部分”的关系已有了初步感知后，教师应利用这些直观材料，通过几何直观将分数的形成及具体表示的意义充分表征出来，从而帮助学生在直观理解上自主建构分数的意义。

[片段三]引发冲突，初识。

当学生有了“平均分”的丰富体验后，笔者通过PPT动态演示平均分过程，“一个蛋糕用1表示，把它平均分成两份，其中一份还能用1表示吗？”学生的认知一下子产生了冲突，一个新的数之欲出。学生通过动作、语言多种表征后，对蛋糕的有了初步的建构，并尝试迁移到三角形的、圆形的、披萨的。笔者不失时机追问：“ 这些图形、物体都不同，为什么都能表示？”

观察这些图式，学生发现了它们的本质特征“都是平均分成了两份，表示出了一份”。图形是学生思维的脚手架，分数“整体与部分的关系”通过图形表征，更加直观而形象。笔者借助几何直观，帮助学生在丰富的直观实例与观察类比中，抽象出它们的本质，认识、理解的含义。

[片段四]实践辨析，深化。

有了前面对的直观感知，笔者设计了一个让学生动手折、涂的操作活动，引导学生用长方形纸表示出的图式。当展示出来的图式涂色各不相同时，学生再次产生思维的碰撞：“怎么同样是这张长方形纸的，折法不同，涂色部分也不同呢？”

在深入的讨论、观察中，学生通过几何直观“看图想事”，发现了虽然这张长方形纸折法不同，涂色部分也不同，但都是把这张长方形纸平均分成两份，涂其中一份，所以都是它的。接着笔者又设计了一个“老师变”的活动。

教师出示错误的图式（图4），顿时激起学生纠错的热情。教师“不平均分”的错误图式与学生“平均分”的正确图式形成鲜明对比。利用几何直观，“平均分”的分数本质更加突显。接着笔者再出示一个超大的图式，贴在黑板上。两个大小差异很大的图式再次激发学生的思考和讨论：“都是，怎么涂色的部分差别这么大？”学生利用几何直观“看图说事”，在冲突、对比中主动辨析，认识到“不同大小的长方形”它们的也不同，让学生对分数的内涵形成更深刻的认识。

数学教学不只限于学生对结果的掌握，更重要的是经历知识的形成过程，加深对知识的理解。而只有让学生做到直观上的理解，才是真正的理解。

三、 直观洞察，抽象本质

直观洞察，即观察、发现直观载体的深层意义或内在本质[3]。当学生直观理解分数的意义后，教师利用学生积累的大量分数几何直观经验，引发学生直观洞察，抽取分数概念的本质，并通过变式练习，帮助学生更加深入地理解分数的内涵。

[片段五] 观察概括，巧抽象。

当学生拥有了大量的几分之一图式的直观感知后，笔者再把学生之前已认知的、创造的几分之一图式集中呈现出来。观察后，一位学生激动地说：“我发现这些图有一个共同的秘密。”其他同学睁大眼睛，好奇地观察，笔者顺势而导：“观察这些图形和分数，你发现了什么？”他们争先恐后发言：“它们都是把一个图形平均分成几份。”“他们都只涂色一份，分数的分子都是1。”“一个图形或物体平均分成几份，其中的一份就是整个物体的几分之一。”……讨论此起彼伏，学生有了之前的几何直观经验的积累，很快透过直观载体的表面观察发现了几分之一的本质，更加深刻地理解了几分之一的内涵。

儿童学习心理学表明，学生自己“悟”出的知识，能更快纳入自己的知识系统。因此，在数学概念的抽象与变式中，教师有意识地给予学生直观洞察的机会，更能深刻理解概念的本质与内涵。

四、 直观想象，创造拓展

学生对数学概念掌握得好不好，往往通过巩固与应用练习来检验。因此，概念练习的设计很关键。如果教师能立足几何直观，设计开放的，能引发学生联想、想象的练习，就可以让学生借助直观想象，提高思维的灵活性和深刻性，进而更准确地理解概念的本质与内涵，激发学生的创造意识，提高学生的创造性思维的能力。

[片段六] 看图联想，试创造。

在基本练习过后，笔者设计了一道“看图片，联想几分之一”的问题，如图5。

教师引导：“其实生活中处处藏着有趣的分数，从图片中，你联想到几分之一？”一分钟的沉默后，教室里顿时活跃了起来，笔者仿佛看到学生思维的火花在跳动，学生看图联想：……一个个分数迸发而出。可见，直观想象发挥着强大的力量。

[片段七] 直观想象，拓思维。

在最后的变式拓展中，笔者设计了一道问题：涂色部分是整体的几分之一？如图6。

这颠覆了学生原来的看法，教室里出现了质疑声：“这两个图形都没有平均分，哪能用分数表示？”教师故作吃惊：“哦，看来题目错了。”这时，同学们又产生了不同的声音：“老师，我觉得没出错。”两分钟的思考后，教室里展开了一场激烈的讨论。学生借助几何直观，通过转化、移动，变“不平均分”为“平均分”，从而得出结果。在这一过程中，学生的思维跳出原来的定势，转向更高级、更抽象的空间形式，学生体验到直观想象的神奇与作用。

几何直观能将复杂的数学问题变得简明、形象，运用几何直观进行概念教学正好适应小学生的思维特点，能够帮助他们理解和接受抽象的概念，更深刻地理解数学概念的内涵，积累学生的数学活动经验，促进学生思维能力的发展。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 李维东.皮亚杰的建构主义认知理论[J].中国教育技术装备，2009（6）.

[3] 曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读之四——几何直观[J].小学数学教师，2013（7、8）.

【责任编辑：陈国庆】