小学数学线段图的呈现及应用

魏芳

近期，全程参与了市教研室组织的“学科带头人展示活动”，观摩了两节“解决问题策略”的公开课，分别是苏教版（下同）小学数学三年级下册“从问题想起”和四年级下册“画图的策略”。活动之后，教研室组织了解读教材活动，探讨公开课背后更本源的内容。解读中的争论焦点在于两节公开课中都涉及到的线段图：教材编排的线段图究竟价值何在？以怎样的方式呈现线段图更为合适？这两个核心问题引发了大家的热议，也引起了笔者的关注与思考。

一、 解读“线段图”，应具有纵向视野

数学知识最显著的特点是它的前后关联性，其形成与发展也是由易到难、由浅入深逐步推进的。如线段图的出现，并非一蹴而就，而是依据学生的认知规律和知识的特点逐层渗透的。

1.厘清“线段图”的发展趋势

纵观教材中编排的“线段图”，由最初的直条“遮盖”具体数量，逐步过渡到用直条概括数量的多少，最后再用线段表示数量的多少及关系，体现了由易到难、由具体到抽象的特点，具体分析如下。

（1）用直条“遮盖”数量及关系。教材中第一次用直条的方式表示数量及关系，是在二年级上册“表内乘除法的练习”中（图1）。意在引导学生发现问题的本质是“求8个3相加的和是多少？”这里的直条具有“遮盖”具体数量的作用，学生在计算后还能用数一数的方法验证直条后面的五角星个数。

（2）用直条概括数量及关系。第二次出现直条图是在二年级下册“两位数加减法”中（图2）。用不同颜色的直条表示不同的数量，且隐藏的个数较多，不容易再像第一次那样可以去数个数，这里的直条具有概括的作用。学生根据文字的叙述与直条的长短来理解两种数量之间的关系，从而分析和解决问题。

用线段表示数量及关系。教材正式出现线段图，是在三年级上册“从条件想起”（图3）中。这是首次用简洁的线段图表示条件与问题，让学生根据条件填写线段图中的数据，借助线段图从条件出发分析数量关系。在三年级下册“从问题想起”（图4）中，让学生根据实际情境中的条件补足线段图及问题，借助线段图从问题出发分析数量关系。在四年级下册“用画图的策略解决问题”（图5）中，让学生根据实际问题中的两个未知量的关系补全线段图，根据线段图从不同角度分析数量关系。

2.把准各阶段“线段图”的核心

理清教材编排“线段图”的意图是第一要义，接下来就要结合学生的认知特点和知识的发展线索，合理呈现线段图，借助线段图来分析数量关系，培养学生表征信息、分析问题和解决问题的能力。

（1）从条件出发思考。三年级上册“从条件出发思考”（图3）中，因呈现的条件较多，关系较复杂，需要借助线段图来分析绿花、黄花和红花之间的关系：已知“绿花有12朵”，可以用一条线段表示绿花的朵数；已知“黄花的朵数是绿花的2倍”，那么表示黄花朵数的线段应是2条表示绿花朵数的线段那么长；已知“红花的朵数比黄花多7朵”，因此表示红花朵数的线段应比表示黄花朵数的线段稍长一些。问题是求“红花有多少朵？”应把“？”标示在表示红花朵数的线段下面。这里的线段图是根据条件之间的关系逐步呈现的，根据直观形象的图示，学生容易发现其中的数量关系：“绿花的朵数×2=黄花的朵数”，“黄花的朵数+7=红花的朵数”。使学生感受到线段图能直观地表征出三种花朵数之间的关系，并能从已知条件“绿花有12朵”出发，一步步推算出所求的问题。体验到“从条件出发”分析和解决问题的过程和本质，建构起“由因至果”的思考模型，积累解决问题的经验。

（2）从问题出发思考。三年级下册“从问题出发思考”（图4）中，要求“买一套衣服要用多少元？”需要知道两个条件：一件上衣的价钱和一条裤子的价钱，其中裤子的价钱已知，上衣的价钱未知，因此要先求出上衣的价钱。可以根据“上衣的价格是裤子的3倍”画出表示上衣的线段，应是3段表示裤子价钱的线段那么长。问题“买一套衣服要用多少元？”可以用大括号把表示裤子价钱的线段和表示上衣价钱的线段合并起来，再标出“？”。这里的线段图是从问题出发，一步步寻找所需要的条件，再根据条件之间的关系逐步呈现的。根据直观图示，学生容易想到其中的数量关系：“一套衣服要用的元数=裤子的价钱+上衣的价钱”，上衣的价钱不知道，再用“裤子的价钱×3=上衣的价钱”求得。使学生体会到“从问题出发”分析问题的过程和本质，建构起“执果索因”的思考模型，积累更丰富的解决问题的经验。

（3）用画图的策略解决问题。四年级下册“用画图的策略解决问题”（图5）中，问题涉及两个未知量，条件中已知两个未知量之间的和与差的关系。在教学时要充分激活学生已有的经验积累，唤起学生画线段图来表征数量关系的需要。这里，要把画线段图作为一个重要的教学目标，同时线段图也是帮助学生分析数量关系的思考媒介。从直观形象的图示中，学生可以发现两种不同的思路：从总数中去掉多的12枚，就是2个小宁的枚数，再分别求出小宁和小春的枚数；或者在总数中加上12枚，就是2个小春的枚数，再分别求出小春和小宁的枚数。这里，“画”线段图是学生分析数量关系的需要，“看”线段图则能帮助学生理清两种未知量之间的关系，“画”和“看”是两个相辅相成的过程，缺一不可。至此，学生充分感受到线段图之于分析数量关系的价值，对线段图在解决问题过程中的价值体验也会更深刻。

二、 应用“线段图”，要拓宽横向关联

借助线段图来表征实际问题中的信息，其本质是理清条件与问题之间的关系，确定解题思路，最终求解问题。问题千变万化，线段图表征信息的方式也会灵活多样。

1.同中求异，灵活拓展思路

同一种解决问题的策略，其思考路径是相同的，但具体问题的呈现方式、内涵会有所不同。在三年级上册“从条件想起的策略”中，学生初次完整地接触了线段图，并能借助线段图从条件出发思考和解决问题。之后，需要运用丰富的实例，帮助学生感悟到解决问题的策略是相通的，但具体的解决方法是不同的。如下面的线段图，可以引导学生根据线段图提出不同的问题，并解答。

通过分析，学生能够感受到线段图呈现信息的方式不同，如图6中，把表示桃树和梨树棵数的线段合并成一条长线段，用另一条线段表示苹果树的棵数，学生能解答“桃树和梨树一共多少棵”和“苹果树有多少棵”等不同问题。当然，还可以呈现相似的习题，引导学生尝试用线段图表征信息，再分析解答。通过多样的练习，帮助学生充分体验到策略之于同类问题的统摄作用，更能感受到不同问题的呈现方式各不相同，其中蕴含的数量关系也是丰富而灵活的。

2.异中求同，体会核心内涵

现实世界中的实际问题是复杂多变的，但某一种策略有时却能统领一系列具体问题。在四年级下册“用画图的策略解决问题”中，问题变化多样，但其核心都是借助线段图来表征复杂的数量关系，从而理清思路，解决问题。如下面的两个问题：（1）小宁和小星一共有画片86张。小星比小宁多8张，两人各有画片多少张？（2）小宁和小星一共有画片86张。小星给小宁8张后，两人画片的张数同样多。两人原来各有画片多少张？这两个问题具体表征的线段图并不相同（图7、图8）：

从图中可以发现，问题（1）中两人的画片张数之差是8张，而问题（2）中两人的张数之差是2个8张。通过直观的对比与分析，学生能够准确把握实际问题中的数量关系，并顺利解决问题。之后，教师要组织学生进行深入比较：这两个实际问题不同，所画的线段图也不同，数量关系更不同，但最本质的相同之处在哪里？引发学生关注两个问题的策略核心：借助线段图把复杂的数量关系变得清晰有序，利于思考。

3.灵活应用，凸显独特价值

线段图是学生分析问题和解决问题的一种有效的思维辅助，学生对线段图价值的感悟是随着解决问题的过程逐步积累的。特别是到了高年级，实际问题中的数量关系更复杂，线段图就是他们形象表征和理清数量关系的重要媒介。如六年级的“分数乘除法实际问题”中，线段图更是发挥了不可忽视的作用。举例说明：两筐苹果共重56千克。从第一筐取出放入第二筐，两筐苹果就同样重。原来两筐苹果各重多少千克？学生可以借助线段图（图9）进行分析。

根据线段图可以发现原来第一筐是9份，第二筐是5份，可以求出1份是：56÷（9+5）=4千克，原来第一筐就是9个4千克即36千克，第二筐就是5个4千克即20千克；也可以把第一筐的千克数看作单位“1”，结合分数除法的意义求出第一筐的千克数：56÷（1+）=36千克，再求出第二筐的千克数：36×（1-×2）=20千克。学生从多种角度思考的方法，利益于线段图的形象支撑，帮助他们进行逻辑推理。

皮亚杰的认知发展阶段理论把7～11岁的儿童（也就是小学生）称为具体运算阶段，这个阶段的儿童缺乏抽象逻辑推理能力，他们的思维带有很大的具体形象性，但是他们能凭借具体形象的支撑，进行逻辑推理。因此，在学生解决一些抽象的数学实际问题时，为他们提供一些具体形象的材料，如线段图等直观辅助，能让他们进行“选择性知觉”，再进行分析比较，促进抽象概括，利于形成并获得解决问题的策略经验。

【责任编辑：陈国庆】