数学教学要关注学生的“真正理解”

王念利

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在其教学建议中指出：“数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。”还指出：“学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化。”同时又进一步指出：“为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系，组织学生……引导学生……”[1]这就凸显了“理解”在学生掌握数学知识中的重要作用。“理解”一词在历次的课程标准（教学大纲）中都有陈述，而这样浓墨书写“理解”，将“理解”突出上升至“真正理解”的地步，着实值得我们思考。

一、 何为“真正理解”

日常教学中教师都非常重视学生对知识的理解。然而，什么才是学生的“真正理解”，或许下面的例子会给我们一些启发。

案例：“两位数乘三位数的笔算乘法”。

这是笔者批改小学生作业时遇到的案例。一般情况下，教材把三位数在前、两位数在后的乘法算式编做例题。教师示范列竖式时，也常把三位数写在上面，两位数写在下面，然后讲解如何计算。如果练习中出现形如13×125的算式，而教师又没做提示，学生会表现出以下几种情况：第一种，空着不会列竖式，因为例题学的是三位数在上、两位数在下，而两位数在上、三位数在下不会算；第二种，将13×125看成125×13来计算（如图1），这说明此类学生头脑中有乘法交换律的意识；第三、第四种，学生按原样书写竖式，但计算过程却迥然不同。第三种是学生分别用第二个乘数125的每一位上的数去乘第一个乘数13，即5×13、2×13（实际上是20×13）、1×13（实际上是100×13），再将每一次乘得的积对好位，最后将三次相乘的结果加起来（如图2）。第四种是看着13在上面、125在下面，计算时却当成125在上面、13在下面，先算3个125是375，再算10个125，最后把两部分的积对应相加，思维过程等同于第二种方法（如图3）。四种方法相比，第一种不会做，说明学生学习机械，不理解所学知识，不能灵活笔算乘法。后三种尽管选用方法不同，但实质相同——无论先用哪个数的某一位乘另一个数，都需对好积的位置，这说明学生理解算理，灵活算出了结果。细致比较一下，方法三和方法四尽管看着别扭，想着别扭，但是理解的层次却比方法二还要有深度，因为计算的过程需要头脑更清晰每步算的是什么，方能对位不错。看似麻烦、别扭的方法三、方法四实质上蕴含了更复杂的思维过程，这更凸显了学生对乘法笔算中积的对位问题的“真正理解”。

图1 图2 图3

“真正理解”不仅意味着懂，还意味着能够抓住本质，灵活应用知识，做到举一反三、触类旁通。

二、 如何在教学中让学生“真正理解”

教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。教师教的方式影响着学生学的方式，也自然影响着学生的学习效果。要让学生真正理解数学知识，就要做到以下几点。

1.突出本质，帮助学生打通知识间的内在关联

所谓数学理解，是学生对数学本质的深刻把握，对数学知识联系的深刻洞察。学生不能灵活应用所学，往往是没有沟通知识间的内在联系，没有把握住知识的内涵。所以，教师在教学中要有意识地让学生在比较分析中，梳理知识间的关系，突出对数学知识本质的理解。

一位教师教学“整十数加、减整十数”（人教2013版小学数学一年级下册），这是“100以内加减法”单元的第一课时。学生根据情境列出算式“10+20=”后，教师让学生说说如何算。

生1：我盖住0，先算1+2=3，再在3后面添一个0。

师：这是一种方法，还有吗？谁会结合“数的组成”算算？

生2：10表示1个十，20表示2个十，1个十加2个十是3个十，10+20=30。

师：这两种方法都可以，下面用你喜欢的方法做几道练习。（出示习题：20+60= 30+10= 40+50=）

……

实际上，此片段教学中，无论是“盖0法”还是“组成法”，其实质都是“相同数位的数相加减”。教师没有关联两种算法，打通二者关系，将其共性“相同数位上的数相加”凸显出来，而只是认可多样化的方法，喜欢哪种算法就用哪种方法算。相对来说，学生喜欢“盖0法”，因为简单省事。“组成法”虽然也好，但说着麻烦，所以后续教学中，学生喜欢用“盖0法”，运用“组成法”的人越来越少。

这则片段，单从练习正确率看似乎没有问题，学生算得又快又准，效果多好啊！实际分析，我们会发现这两种计算方法“隐性价值的缺失”。这节课作为“100以内加减法”的起始课，因为忽视梳理两种算法的共同本质，因而一开始，“相同数位的数相加减”的道理就没有在学生头脑中留下深刻的印象。学生关注的是“怎样算着快，方便，而没有进一步思考这样算的共同之处”。作为“100以内加减法”的第一课时，它的计算方法对后续学习起着奠基作用。

所以，数学教学中教师让学生交流不同的想法，可以打开学生的思维。但还要有意识地帮助学生梳理不同想法，找出共性的东西，帮助学生认清事物的本质，促使学生的思维从表面走向深刻。

2.少些练习，让学生充分经历知识的探究过程

练习是巩固知识、形成技能的必要环节。不少教师遵循“精讲多练”的原则，把练习放到重要地位，通过大量练习让学生掌握知识，熟练技能。比如，一位教师讲解“面积单位间的进率”（人教2014版小学数学三年级下册）。这节课分为四个环节：复习引入—新知学习—巩固练习—课堂小结，各环节所用的时间比重分别是3分钟、15分钟、20分钟以及2分钟。其中，新知识的学习内容是：1平方分米=100平方厘米，1平方米=100平方分米。学习1平方分米=100平方厘米，教师采用的教学方法是，学生借助屏幕上的边长为1分米（10厘米）的正方形，运用“问—答”的方式，使学生看到边长是1分米的正方形，就知道其面积是1平方分米。如果这个正方形的边长以厘米为单位，那么该正方形也可以看做边长为1厘米的100个小正方形的面积，从而推导出：1平方分米=100平方厘米。接着让学生自己类推出：1平方米=100平方分米。然后就转入了练习环节，尽管练习题目类型多样，针对性强，但仍有学生混淆面积单位及长度单位的进率。这是因为学生在老师的“引领”下，循着教师的讲解、演示，总结出了1平方分米=100平方厘米，然后依葫芦画瓢地推导出了1平方米=100平方分米。而实际上，学生的头脑中并没有形成1平方分米=100平方厘米，1平方米=100平方分米的清晰认知。

通常情况下，学生做面积单位换算类的题目，有个复杂的思维过程。他们要明白1平方分米是什么样子，头脑中要有1平方分米的正方形模样。此外，他们头脑中还要有边长为1厘米的小正方形的模样。接着，还要想象到或亲自动手摆摆画画。借助这样的想象、摆画、观察过程，学生头脑中关于“1平方分米=100平方厘米”的关系才会清晰起来。经历了这么详细的思考过程，学生就容易把面积单位间的进率与长度单位之间进率区别开来。所以，1平方分米为何等于100平方厘米的过程要慢，要给予学生充分的思考、探究时间。学生经历了1平方分米=100平方厘米的来龙去脉，不但对1平方米=100平方分米知其然，也知其所以然。

经验告诉我们，学生体验深刻，对知识的理解就透彻，就不容易遗忘。因此，少做一些习题，不会撼动学生对知识的理解和应用。学生探究充分，理解深刻就能抵消不少练习活动[2]。因此，若想使学生更好地获得体验、理解概念、建构知识，教师就要确保学生有“充分的探索时空”，让学生在新知识学习阶段充分经历探究的过程。

3.抓住关键，让学生在困惑处顿悟

学生不能真正理解知识，有时就是迈不过一个坎儿。教师遇到学生出错，很着急，反反复复地讲，讲了很多遍，学生依然不明白，依旧老错重犯。不是教师讲得不清楚，也不是教师没抓住学生的错处讲解，而是学生说不清楚自己哪儿糊涂，不能将老师所讲和自己的经验对接，认同老师所讲。这就需要教师抓住学生的困惑处，帮助他们发现自己的问题，改变已有的错误认知，将教师的“讲解”积极地内化到自己的认知结构中。

笔者曾经给某生讲过一道“鸡兔同笼”问题。学生解决“全班一共有38人，共租了8条船，每条船都坐满了。大船每条坐6人，小船每条坐4人，大小船各租了几条？”（人教2014版小学数学五年级上册）。该生会用列表法解答此问题，但嫌麻烦，就用假设法。她的书写过程如下：

假设8条全是小船

4×8=32（人）

38-32=6（人）

大船：6÷6=1（条）

小船：8-1=7（条）

我让她验算一下，“大船1条，小船7条”是否符合题意。她验算后发现不对。接着，笔者让她说出她写的每步算式的意思。她能说出前两步的意思，也发现第三步列式不对，可是不知道怎么列正确的算式。我问她有什么疑惑，她说，每次遇到假设法时，总在这一步出错（即第三步开始出错）。笔者明白了她的症结，就顺着她的思路往下讲解：你把8条船都假设成了小船，一条小船坐4人，8条小船就坐了4×8=32（人），可是全班有38人，还剩6人没船坐。这是因为你把大船都当作小船，每条大船少坐2人，那几条大船少坐6人呢？讲至此，学生忽地说：“我明白了”，并很快列出正确算式。之后她又指着算式逐一解释，思路一清二楚，看来理解了假设法的含义，再做后面的习题就不费吹灰之力了。因此，教师别急着给学生讲清楚，先让学生说出自己的困惑，再针对其困惑处讲解才可以事半功倍。

数学理解是构成学生有意义学习的基础，无论是对数学概念、法则、公式、定律的学习， 还是对数学知识的应用，只有理解了，才能对数学知识进行正确的表征，学生才能灵活应用所学知识。所以，教师在数学教学中要关注学生的“真正理解”。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2] 岳德明，何雪芳.关于小学数学教师“过程与方法”实施情况的调研报告（下）[J].小学教学，2010（3）.

【责任编辑：陈国庆】