圆周率的计算方法及其MATLAB编程实现

罗洪斌 钱伟 马梅玲

摘要：介绍圆周率的起源以及在各个时期的主要的近似计算方法的数学原理及代表人物，然后详细地给出古典方法、莱布尼兹（Leibniz）公式、数值积分法，三种近似计算方法的数学原理及其推导过程，并结合现代数学计算软件MATLAB编程实现算法过程，给出其运算过程及结果。并对三种计算方法进行具体分析，得到其相关结论。

关键词：圆周率 近似计算 数学原理 MATLAB程序实现

中图分类号：TP312 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2016）08-0057-02

π，第十六位希腊字母，欧拉于18世纪提倡用π代表圆周率。圆周率最早被发现于一块古巴比伦的石板上，此时的π是一个常数。在《几何原本》中π以一个小数被记载，这是圆周率最早的书面记载。此时圆周率具体的定义被给出，即圆周长与其直径之比，我国的古算经《周髀算经》也有记载。为了得到圆周率更加精确的近似值，从古至今，一位又一位数学家奉献出了自己毕生的精力与心血。由于数学计算的发展，圆周率的近似计算主要经历实验时期、几何法时期、分析法时期、三大时期。下面具体介绍三个时期圆周率计算方法。

实验时期：

由于文化发展滞后，科技有局限性。因此此时的圆周率都是通过测量得出，常用来代替圆周率，最早见于欧几里得的《几何原本》，印度的《百道梵书》也有记载。

几何法时期：

这个时期数学家们用严谨的科学方法来计算圆周率，在古埃及草书（约公元前1700年）中提到。先驱者阿基米德通过计算数学理论算的圆周率。他从单位圆开始，通过迭代算法和两侧数值逼近算得 （3+（10/71））<π<（3+（1/7）），这种方法被命名为古典方法。我国的刘徽利用“割圆术”求出了更加精确的圆周率，算出=3.1416。继刘徽之后，祖冲之3.1415926<π< 3.1415927，将π的精确度提高到8位，保持世界记录九百多年[1]。

分析法时期：

这随着各种方法理论增多，人们开始使用无穷级数或无穷连乘积来计算。自1593年韦达公式面世之后，沃利斯、John Machin、Srinivasa Ramanujan、Fabrice Bellarb等先后给出了更好的计算方法。他们将圆周率的精确度一次又一次的提升到新的高度。

1 三种近似计算方法及其MATLAB实现

1.1 古典方法

原理为选一个单位圆，用内接正六边形得出的下界为3，再用外接正六边形和勾股定理算得的上界为4。通过迭代算法，将圆周率的值确定为内接正九十六和外切正九十六边形的周长之间[2]。

1.2 莱布尼兹（Leibniz）公式

用级数法求圆周率在分析法时期十分流行，这个时期产生了莱布尼兹公式、马琴公式、傅里叶级数等计算方法，但主要介绍莱布尼兹公式。莱布尼兹公式主要用幂级数的推到而得到的，其原理如下：

1.3 数值积分法

其原理为以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则圆在第一象限的扇形是由与轴，轴所围成的图形，扇形的面积。只要计算出扇形的面积，就可得出近似的值。而扇形面积的值可近似等于定积分的值。

对于定积分的值，可以看做成曲线与轴，所围的曲边梯形的面积S。把分成等分，既得个点。组成个小区间，每一个小区间与轴，所围成的图形是一个小曲边梯形。而梯形的面积计算公式是（上底+下底）×高÷2，对于第个小曲边梯形有上底为，下底为。所有小梯形的高都为。所以第个小曲边梯形的面积为。曲边梯形的总面积即定积分的值就是所有小梯形的面积总和。即利用积分得出的值。

2 结论

（1）古典方法：这种方法基于几何原理，计算量大，速度慢。

（2）莱布尼兹公式：在（2.3）式中，当取的值为很大时，所花费时间较长，而且精度也不是很高。原因是当时，的展开式收敛太慢。因此就需要提升收敛速度。因此在推导式（2.4）中，同样的值，级数收敛越快，取可以得到更高的精度。以同样的方法，能得出，程序一样。但此时的近似值可以精确到几百位。

（3）数值积分法：逼近的速度大大增加，但是计算量增大，速度慢。

（4）本篇文章主要介绍了三种圆周率的近似计算方法，还有很多的方法，如拉马努金（Ramanujan）公式，马琴（Machine）公式，马琴公式是（2.2）式进一步推到得到，收敛速度更快，精确位数更高。限于篇幅，这里就不进行详细的讨论。

参考文献

[1]占海明，等.基于MATLAB的高等数学问题求解.清华大学出版社，2009.

[2]陈岩.中国古代圆周率的发展[J].北方文学（中旬刊），2013.

[3]同济大学数学系.高等数学.高等教育出版社，2007.

[4]周辉.关于圆周率的几种计算方法[J].科技向导期刊，2011.