浅谈不等式恒成立常用的两种处理方法

孔娟

含参数不等式的恒成立问题是不等式中重要的题型之一，也是各类考试的热点.近年来全国各地高考数学试题，考查不等式恒成立的有关试题非常普遍，这类问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.学生往往感到难以入手.解答这类问题的关键是等价转化，通过转化能使恒成立问题得到简化，而转化过程中往往渗透着多种数学思想和方法的运用.下面就含参数不等式恒成立问题的解决谈谈个人的见解.

一、构造函数法

在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，使问题更加清晰明了.

评析 此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于x的不等式讨论，从而导致计算繁琐.若转换一下思路，把待求的x视为参数，以m为变量，令f（m）=（x2-1）m-（2x-1），则问题转化为求一次函数（或常数函数）f（m）的值在[-2，2]内恒为负的问题，再来求解参数x应满足的条件，这样问题就轻而易举地得到解决了.

二、分离参数法

在不等式中求参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来，并且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.

用分离参数法来解决不等式恒成立问题之所以很受大家喜欢，是因为分离后将不定函数转化为定函数，很多情况下避免了分类讨论.其一般类型有：