数学思想促进新知建构的探究

林慧琼

摘 要：数学思想是数学的精髓，教师的“教”和学生的“学”都离不开数学思想。在教育教学实践中教师加强渗透数学思想，发展学生数学思维，是实现教育目标的一个重要措施，也是新课标所提倡的理念。培养数学思想，不仅能促进新知的建构，而且能提高解决问题的能力。在教育教学实践中，教师应该摒弃单向传授知识的旧观念，加强对学生数学思想的引导，提高学生数学素养和能力。

关键词：数学思想；新知建构；数形结合；极限思想

在小学阶段，数学思想有转化、数形结合、对比、分类、迁移、极限、统计、集合、归纳以及猜想验证等。教师如何根据教材和学生差异有机渗透数学思想，发展学生数学思维，促进新知建构，创建高效课堂是我们教师应该思考和探究的问题。在此，我根据自身实践，浅谈几种数学思想——转化、数形结合和极限思想在小学教育教学中的应用。

一、灵活转化，化“险”为夷

在小学数学教学中，如何渗透转化思想，引导学生将复杂、困难的问题转化为简单、容易的问题，找到突破口，攻克难题？

我在区公开课“年月日”的教学中，开课班级的学生还未学习“除数是一位数的除法”，判断平年和闰年时，需要用到除法知识，所以在探究闰年与4和400的关系时，我引导学生把“用除法解决”转化为“用倍数关系解决”，放手让学生自主探究，巧妙地化难为易。探究闰年的年份与4的关系，我巧设填空：

2004=（ ）×501，2008=（ ）×502，2012=（ ）×503

学生自主探究，发现括号内都填4，总结规律：闰年的年份都是4的倍数。虽然年份是4的倍数的一般是闰年，但年份是整百数的必须是400的倍数才是闰年。当我质疑1900年是平年还是闰年时，学生就能触类旁通，通过迁移和转化的数学思想，把1900÷400的除法计算转化为1900=（ ）×400的乘法口算。我质疑：能找到一个整数和400相乘等于1900年的年份吗？学生探究得出：1900不是400的倍数，所以不是闰年，而是平年。这节课中，我巧妙引导学生把没有学过的知识转化为已经学习过的知识，化难为易，促进了新知的建构。

学生学习知识是一个主动建构的过程，新课标提倡学生“做数学”，效果更好。学生探究三角形面积公式是建立在已有平行四边形面积公式推导的经验基础上，进一步感悟“转化”思想的。因此在五年级“三角形的面积”教学中，我放手让学生通过剪拼的活动，自主推导公式，体验“转化”思想，发展空间思维。学生在动手操作中发现方法多样。方法一，把两个完全一样的三角形拼在一起，转化成一个平行四边形，三角形的面积=平行四边形的面积÷2=底×高÷2；方法二，把两个完全一样的三角形拼在一起，转化成一个长方形，三角形的面积=长方形的面积÷2=长×宽÷2=底×高÷2；方法三，把一个三角形沿两边中点的连线剪开，顶部的小三角形往右下角平移并旋转，拼成一个平行四边形，根据原有公式进行推导，三角形的面积=平行四边形的面积=底×（高÷2）=底×高÷2。本堂课，学生通过折一折、剪一剪、拼一拼，把三角形转化成其他已经学过的图形，借助它们的面积公式推导出三角形面积公式，理解深刻，掌握牢固。

在六年级“扇形统计图”一课中，我巧妙应用“转化”的思想进行教育教学。课堂开始，一小组长突然汇报某同学没有完成作业。面对尴尬场景，我若大发雷霆，没完成作业的学生肯定惶恐不安，也会影响大家。若放任不管，恐怕他会一错再错。为了不影响学生学习又能恰到好处地教育，我做出了转化，“同学们先统计下有完成作业和没完成作业的人数，并选择合适的统计图来表示。”学生汇报用条形统计图来表示，我质疑：“为什么不用折线统计图？”学生汇报，“有完成作业”和“没完成作业”的人数是两种固定不变的数据，而折线统计图是用来表示数量的增减变化情况。我引导：“还能用扇形统计图来表示这两种数据所占的百分比。”接着质疑：“从这些统计图中你发现了什么？你想提哪些宝贵建议？”虽然我没有用任何言语批评，但已经达到了“无声胜有声”的效果。可见教育教学中教师灵活应用“转化思想”，能促进学生建构新知，化解课堂干扰又使师生关系融洽。

二、数形结合，妙趣横生

数形结合思想是充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来，把数量关系和空间形式结合起来，解决一些比较抽象、复杂的数学问题。

我在设计公开课《认识几分之一》时，充分运用数形结合的思想方法引导和启迪学生，把原本抽象的分数用不同形状的卡片来呈现，分别有圆形、三角形、长方形、正方形，让学生折一折、画一画、涂一涂找出多种图形中的几分之一，深刻理解几分之一的含义，促进新知的建构。在扩展提升环节，我巧妙设计，引导学生应用数形结合的思想解决问题。例：动物王国新建了一座城堡，聪明的小猴把大厅的天花板设计成七巧板的形状，大象、狮子、山羊、狐狸负责给天花板涂漆，哪只动物涂得最多？哪只动物涂得最少？有涂得一样多的吗？

这道题如果没有通过数形结合，很难解决，特别是狐狸、山羊两只动物涂的大小很难判断，因为这个阶段的孩子还没有学习面积的计算，我提醒大家可以应用“数形结合思想”找到各只动物所涂的大小分别占天花板的几分之一，再判断分数大小。然后让学生动手操作进行验证，二人小组合作，通过“移”和“拼”七巧板，找到关系：大象涂的占天花板的，狮子涂的占天花板的，山羊和狐狸涂的分别占天花板的。根据，得出大象涂得最多，狮子涂得最少，山羊和狐狸涂得一样多。

在此，数离不开形，形离不开数，学生借助图形能使原本抽象、复杂的数量关系更直观化、形象化，枯燥的数与代数问题变得生动有趣，促进新知的建构。

三、“极”中生智，量变到质变

极限思想的实质是通过量变的无限过程达到质变的。教育教学中，教师应善于引导学生“极”中生智，培养用极限思想解决问题的能力。

五年级“通分”新授课的扩展环节，我设计了这道题：，括号内能填几个分数？要解决这道题，学生不仅要掌握通分的知识，还必须充分理解并应用“极限思想”。学生通分，得出，找不到分数。我引导继续扩大分母，再通分。学生汇报：，无须计算，就能判断出括号内可填多个分数。我质疑：分母扩大100倍呢？学生继续通分，，分母一样，只需考虑分子，“201500<201501<201502…<201599<201600”，介于201500与201600中间共99个数，因此可以填99个分数。我再次质疑：分母扩大1000倍呢？学生直接报出999个分数，并自主总结：分母能无限扩大，分子也能对应扩大相同的倍数，应用极限思想得出答案是“能填无数个”。在这里，极限思想发挥了强大作用，令问题的解决达到事半功倍的效果。

六年级“圆”这单元，涉及“极限思想”比较多。“认识圆”新授课中，扩展环节，我引入“圆出于方”，让学生观察有限切割，加快速度，不断切割下去，想象极限状态，得出：正方形通过无数次切割可以得到一个圆。

我要求学生算出正方形中最大的圆的直径和半径，学生发现规律“正方形的边长=圆的直径”算出直径和半径，并萌发了无限逼近的思想。我在“圆的面积”教学中，进一步渗透了极限思想。我让学生折一折、剪一剪，把圆剪成若干小扇形。首先8等分，拼成一个近似的平行四边形；再16等分，最后32等分，拼成一个近似的长方形。引导学生想象极限状态，如果不停地剪下去，会产生无数个小扇形，用无数个小扇形就可以拼出一个长方形。放手让学生自主发现，长方形的“长”就是圆的“周长一半”，长方形的“宽”就是圆的“半径”，最后根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式，加深了对“极限思想”的理解。课堂尾声，我再次出示最后一张图，让学生计算图中圆的面积。学生对“极限思想”理解深刻，很快推导出图中“圆的半径=正方形边长÷2”，即r=8÷2=4（厘米），最后运用公式S=πr2计算出圆的面积。低年段学生的极限思想初步形成，中高年段逐步强化。教师应从低年段逐步培养学生的极限思想，到中高年段加强应用，从而对新知建构起到促进作用。

数学思想是数学的灵魂。在小学教育教学中，作为学生的引导者，教师不能只是单纯传授知识和方法，应深入研究教材，挖掘其中蕴涵的数学思想，根据实际教学目标、内容和学生的差异情况选择合适的数学思想进行有机渗透，发展学生数学思维，促进新知的建构，提升教育教学的效率和质量。

参考文献：

高仕明.浅谈常见的数学思想方法在解题中的应用[J].教学研讨，2014（10）.