芝诺悖论的中学理解

徐水龙

悖论是人的直觉与日常经验相矛盾的数学结论.古希腊著名的哲学家兼数学家芝诺曾提出四个著名的数学悖论，给人们带来了极大的困惑，但也促进了希腊几何学方法走向严谨.它对几何学的发展、数学思想的发展，乃至哲学上时空观念的发展有深远的影响.如何向高中学生解释芝诺悖论，下面简单先介绍一下芝诺的四个悖论：

一、不运动说

物体永远不可由甲地运动到乙地.运动着的物体要达到终点，首先必须经过路途的一半，为此它又必须先走完这一半的一半，依此类推，以至无穷.假如承认有运动，这运动着的物体连一个点也不能越过，因为你不能在有限的时间内越过无穷的点.

二、运动员跑不过乌龟说

阿基里斯（在希腊神话中善于跑步的人）永远追不上乌龟.因为，他要追上龟，他首先必须到达乌龟出发的地点.这时候乌龟向前走了一段路.于是阿基里斯又必须赶上这段路，而乌龟又会向前走了一段路.他总是愈追愈近，但是始终追不上它.

三、飞矢静止说

飞着的箭是静止的.因为，飞着的箭在不同的时间处于不同的位置，甲时在A点，乙时在B点，在连续的时间中，箭相继地静止在一系列的点上.既然是在某一点上，怎么能运动呢？运动实际上是一系列静止的总和.那么它就不能动了.

四、一半等于全部说

一半的时间可以等于全部的时间.首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位.

◆◆◆◆观众席A

▲▲▲▲队列B

队列C

B、C两个列队开始移动，对B而言C移动了两个距离单位.也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾，因此队列是移动不了的.

从本质上来说芝诺的四个悖论可分为三类，其中“不运动说”与“运动员跑不过乌龟说”的核心问题都是“有限的时间是否能一一接触无穷个点”，本质相同.“飞矢静止说”研究的是运动的概念.“一半等于全部说”研究的是位移的运算.

这四个悖论看上去非常有道理，但与现实的确存在很大矛盾，那么究竟错在哪里呢？下面一一进行解释.

首先，最容易解决的是第四个悖论.显然，芝诺的错误在于否定相对位移.举个例子，假设你坐在车上行驶了10公里，而你相对于车来说是静止的，难道10公里与0是一样的吗？同理，当B对A走了一段时间，则C对A也走了同一段时间，由于B与C反向，所以造成在同一段时间内相对位移增大一倍，因此“C的时间要比它用来越过A的时间长一倍”是错误的.

接着我们来解决“不动说”.显然芝诺将运动的概念归结为是没有位移.因为所有的物体在瞬间都是没有位移的，因此他否认运动的存在.好比我们给运动员跑步时拍照，拍出的照片人都是静止不动的，但运动员在跑步过程中的确都保持着运动.学生容易理解的是运动要有速度，而问题正是出在速度的计算上，也就是平均速度的计算公式上.芝诺认为速度等于位移比上时间，如果位移为零速度即为零，但在瞬时时间间隔时间同样为零，因此速度为0除以0，没有意义.我们知道，瞬时速度的计算公式为： v= s t ，s为物体在时间间隔t内所通过的位移，它是位移关于时间的导数，是一个极限值，因此就不能割断某一瞬间与前后时间的关系，芝诺在这里采用的方法是把时间和空间分割成不可再分的小点，肯定了这种无限的离散性，但在时间上又不承认“流逝性”，在究竟上又不承认“统一性”，于是错误就不可避免了.

归根结底，首先芝诺以形而上学的观点看问题，导致其否认运动；其次，芝诺的错误在于不承认无限是客观存在的，而用一系列有限的过程来逼近无限，结果自然有所偏差.这个内容涉及到“实无限”与“潜无限”的辩证关系，不是中学生所能理解的.但我们用高中数学的观点已经能够看明白芝诺悖论的错误所在，并能举出具体事例反驳，同时在反驳的过程中加深了对相对位移、导数、无穷数列等基本概念的理解，达到了教学的目的.