浅析构造法在高中数学解题中的应用

杨燕

摘 要：构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维。其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性。本文从构造方程、函数、图形、递推数列这些常见构造出发，构造出解题的数学模型， 从而使问题得到解决。在构造法解题的过程中，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，在解题中被广泛应用。

关键词：构造法 转化 解题 应用

中图分类号：G633.6 文献标识码：C 文章编号：1672-1578（2016）09-0112-01

解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一。在解题时，要善于将数与形结合，将式与方程、函数、图形等建立联系，构造出一种新的问题形式，架起一座连接条件和结论的桥梁。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于加强学生数学基础知识的灵活运用，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的思维能力和创新能力。不少数学问题运用构造法来分析探求，可获得新颖、独特、简捷的解法。

本文将对构造法及其在中学数学中的应用做简单探讨，通过示例，不断加深对构造法的理解。

1 构造函数

评析：本题的实质上是用的函数的单调性、奇偶性来证明的，其中如何来构造恰当的函数是进一步证明的关键。在解题中，构造与问题相关的函数式，利用函数性质，沟通问题的题设与结论的联系，使隐含关系在构造中展现出来，从而使较复杂问题变得简单易解。

评析：本题构造一个一元二次方程，利用根与系数的关系来求解。对于较复杂的问题，就需根据条件进行框架的设计，为了运用判别式证明不等式，就需构思一个“一元二次方程” 框架。

4 构造图形

解析：从几何意义上考虑把原解析式看作是动点P（cosx，sinx）与定点Q（3，0）连线的斜率，为此构造一个单位圆。探究单位圆上动点P与定点Q（3，0）直线的斜率问题。如图，因为动点在单位圆上运动时处于极端状态，即为切点时直线斜率分别为最大最小，设切点分别为R、M，易知：

评析：数与形是和谐统一的，是数学教学中不可分割的两方面，用数与形转化思想解题，能充分利用几何直观性，且解法简洁，在解题过程中能培养学生的创造性思维。

上述的例子说明了，构造法解题有着在你意想不到的功效，问题很快便可解决。它可以构造函数、数列、方程、图形甚至其它构造，就会促使学生要熟悉几何、代数、三角等基本知识技能并多方设法加以综合利用，因此，在解题教学时，若能启发学生从多角度，多渠道进行广泛的联想则能得到许多构思巧妙、欣颖独特、简洁有效的解题方法，而且还能加强学生对知识的理解，培养思维的灵活性、提高学生分析问题的创造能力。

参考文献：

[1] 王桂青.初中数学竞赛中的构造法分析[J].考试周刊，2007，（1）：101-102.

[2] 黄加卫.给数学构造性解题方法提个醒[J].中学数学研究，2006，（4）：26-28.

[3] 戴红波.构造在数学解题中的应用[J].宁波教育学院学报，2010，12（3）：134-135.

[4] 王小兰.浅析构造法在不等式证明中的应用[J].教育战线，2007，（6）：126.