吴莺
摘 要:圆是一个奇妙的几何图形,实际是个概念性的图性,近年来江苏高考中频频出现有关圆的试题,其中用圆的轨迹处理的题目往往意想不到,难度也比较大,所以我们要重视这类新型难题。
关键词:高中数学 圆形 轨迹
中图分类号:G633.6 文献标识码:C 文章编号:1672-1578(2016)09-0110-02
圆是最完美的曲线,是最基本的几何图形,近年江苏高考中2013年高考第17题(解析几何),2014年高考18题(应用题)相继考查了圆的轨迹圆的性质等知识,笔者在2014届高三二轮复习阶段中,发现各类模拟卷各类习题中出现了一系列的圆轨迹问题,下面,将其归纳整理总结成文。
1 利用圆的定义求出其轨迹
初中阶段我们对圆的定义为“它是平面内到定点的距离等于定长的点的集合,定点就是圆心,定长就是半径。”由此高中必修二上推导出了圆的标准方程“方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫做以点(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程”。
例1:已知点M(4,3)及圆C∶(x+1)2+(y-1)2=4,由动点P向圆引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,并且∠APB=60°,求PM的最小值。
2 利用圆的性质求出其轨迹
例2:(1)已知定点A,B,若动点P满足PA⊥PB,则P的轨迹是以AB为直径的圆。
(2)若平面四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角),则四点共圆。
例2:若定点P(-1,0)在动直线2ax+(a+c)y+2c=0上的射影为M,已知点N(3,3),则线段MN长度的最大值是______
5 总结与反思
将这些内容整理和归纳后,在二轮复习快结束时,笔者给学生讲解了这一堂与圆的轨迹有关的问题,课堂中很多值得反思和总结的地方,对笔者今后讲解圆这一章节的知识有很多的想法。
(1)在课堂初始时,笔者提问学生圆的平面性质和定理,希望学生们各抒己见,说说大家认识的圆的,结果学生都楞住了,圆对他们来说又熟悉又陌生,有些学生觉得性质太多不知道从何说起,有些学生对圆只有一个大概模糊的印象。其实这些都是学生在初中时圆的性质定理掌握的不透彻,高中又强调得不明显。如果一下子问到某个知识点就楞住了。因此,在高中几何教学中也有必要穿插初中的几何知识,让学生对初中的知识温故而知新。
(2)同学对轨迹的概念比较陌生,大部分学生习惯直接,不转弯抹角地列出式子得出答案,而这节课的内容更抽象,需要从题目条件出发,构造或者猜想出圆的轨迹。学生对动点求其轨迹的概念薄弱,很多同学做完惊呼“这种方法我想不到”。因此,在教学中,我们应该加强求动点轨迹的数学思想。
(3)学生的计算能力应该加强,求圆的轨迹避免不了要计算,特别明显是例5,很多学生对题目中的4个式子都能罗列出来,但是要将4个式子整合起来就不会处理,或者处理不当导致计算繁琐。在教学中要训练学生的计算能力我们不是要一步步写给学生看,而是要让学生一步步写给我们看,让学生多算多练,慢慢提高自己的计算能力。