rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(A)-rank(AN(MTAN)-MTA)成立的一个充分必要条件

张　骞, 袁永新

(湖北师范学院 数学与统计学院，湖北 黄石　435002)



rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(A)-rank(AN(MTAN)-MTA)成立的一个充分必要条件

张骞, 袁永新

(湖北师范学院 数学与统计学院，湖北 黄石435002)

摘要：借助于矩阵对的标准相关分解(canonical correlation decomposition)及矩阵A的满秩分解, 得到了秩等式rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(A)-rank(AN(MTAN)-MTA) 成立的一个充分必要条件。

关键词：秩等式; 标准相关分解(CCD); 满秩分解; 广义逆

有关矩阵秩的等式和不等式的关系已经被许多学者研究过. 1974年，Marsaglia和Styan在文[1]中利用矩阵的广义逆对矩阵的秩进行了系统研究, 得到了许多有名的秩等式及秩不等式关系. 在文[2]中, Cline R E对rank(A-S)=rank(A)-rank(S)进行了讨论, 并且给出了等式成立的充要条件. Takane和Yanai[3～5], Galantai[6]讨论了如下秩等式成立的充分条件与充分必要条件：

rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(A)-rank(AN(MTAN)-MTA)

(1)

式(1)及其成立的条件称为广义 Wedderburn-Guttman定理. Wedderburn-Guttman定理[7～9]:

rank(A-AN(MTAN)-1MTA)=rank(A)-rank(AN(MTAN)-1MTA)

被广泛应用于数值线性代数[10，11], 心理测量学[12，13]及统计学[14].

本文将借助于矩阵对的标准相关分解(canonical correlation decomposition)及矩阵A的满秩分解,给出式(1)成立的一个充分必要条件. 和文[4]相比, 本文的方法更为简洁明了.

本文记Rn×m为实数域R上所有n×m矩阵的集合, ORn×n表示实数域上所有n阶正交矩阵, In表示n阶单位矩阵AT, rank(A)分别表示矩阵A 的转置和秩.A-表示矩阵 A的{1} -逆, 即满足方程AXA=A 的任一解[15].

引理1(CCD分解)[16]设W∈Rk×r, Z∈Rr×q, 则存在正交矩阵Q ∈ORr×r和非奇异矩阵E1, E2使得

(2)

其中

∑1=I1 0 00 C 00 0 00 0 00 S 00 0 I4æèççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷ s tlsh-l-sr-h-t-sst∑2=I1 0 00 I2 00 0 I30 0 00 0 00 0 0æèççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷ l s h-l-slsh-l-sr-h-t-sst

C=diag(α1,…,αs),1>α1≥…≥αs>0

定理1设 A∈Rm×n,M∈Rm×k, N∈Rn×q, 假设矩阵 A的满秩分解为A=FG , 其中F∈Rm×r,G∈Rr×n,rank(A)=rank(F)=rank(G)=r , 记W=MTF, Z=GN, 若[WT,Z]的CCD分解由式(2)给出. 则rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(A)-rank(MTAN)

证明由式(2)可得

所以rank(A)-rank(MTAN)=r-(l+s)=r-l-s

(3)

(4)

则有AN(MTAN)-MTA=FGN(MTFGN)-MTFG=

(5)

从而, 由式(5)可得

rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(Ir-GN(MTFGN)-MTF)=

(6)

据式(3)和式 (6) 可得 rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(A)-rank(MTAN)

定理2设 A∈Rm×n, M∈Rm×k, N∈Rn×q, 假设矩阵 A的满秩分解为 A=FG, 其中 F∈Rm×r, G∈Rr×n, rank(A)=rank(F)=rank(G)=r, (MTAN)-由式(4)给出, 则式(1)成立的充分必要条件为

Z33=Z31Z13+Z32CZ23

(7)

证明：由式(5)可得

l+s+rank(Z33-Z31Z13-Z32CZ23)

(8)

所以rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(A)-rank(AN(MTAN)-MTA)

⟺r-l-s=r-l-s-rank(Z33-Z31Z13-Z32CZ23)

⟺Z33=Z31Z13+Z32CZ23

即式(1)成立的充分必要条件为 Z33=Z31Z13+Z32CZ23

定理2给出了式(1)成立的一个充要条件, 但验证此条件需要求出 (MTAN)-的具体表达式,较为复杂. 注意到若记 B=N(MTAN)-MT, 则可得

ABABA=FGN(MTFGN)-MTFGN(MTFGN)-MTFG

由式(2)可得

(9)

通过比较式(8)和式(9), 我们会发现rank(ABABA)=rank(ABA)⟺Z23=Z31Z13+Z32CZ23

由此可得如下结果.

定理3设 A∈Rm×n, M∈Rm×k, N∈Rn×q,B=N(MTAN)-MT,则式(1)成立的充分必要条件为

rank(ABABA)=rank(ABA)

参考文献：

[1]Marsaglia G, Styan G P H.Equalities and inequalities for ranks of matrices[J]. Linear and Multilinear Algebra, 1974, 2: 269～292.

[2]Cline R E, Funderlic R E.The rank of a difference of matrices and associated generalized inverses[J]. Linear Algebra Application, 1979, 24: 185～215.

[3]Takane Y, Yanai H. On the Wedderburn-Guttman theorem[J].Linear Algebra and its Applications, 2005, 410: 267～278.

[4]Takane Y, Yanai H. Alternative characterizations of the extended Wedderburn-Guttman theorem[J]. Linear Algebra and its Applications, 2007, 422: 701～711.

[5]Takane Y, Yanai H. On the necessary and suficient condition for the extended Wedderburn-Guttman theorem[J]. Linear Algebra and its Applications, 2009, 430: 2890～2895.

[6]Galantai A. A note on the generalized rank reduction[J]. Acta Math Hungarica, 2007, 116: 239～246.

[7]Guttman L.General theory and methods of matric factoring[J].Psychometrika, 1944, 9: 1～16.

[8]Guttman L. A necessary and suficient formula for matric factoring[J].Psychometrika, 1957, 22: 79～81.

[9]Wedderburn J H M. Lectures on Matrices[M].New York:Dover, 1964.

[10]Chu M T, Funderlic R E, Golub G H.A rank-one reduction formula and its applications to matrix factorizations[J].SIAM Rev,1995,37: 512～530.

[11]Galantai A.Rank reduction: theory and applications[J].Internat J Math,Game Theory Algebras, 2003, 13: 173～189.

[12]Guttman L.Multiple group methods for common-factor analysis: their basis, computation and interpretation[J].Psychometrika, 1952, 17: 209～222.

[13]Takane Y,Hunter M A.Constrained principal component analysis: a comprehensive theory[J]. Appl Algebra Engrg Comm Comput, 2001,12: 391～419.

[14]Rao C R.The use and interpretation of principal component analysis in applied research[J]. Sankhya A, 1964, 26: 329～358.

[15]Israel A Ben, Greville T N E.Generalized Inverses: Theory and Applications[M].2nd Edition,New York: Springer-Verlag, 2003.

[16]Golub G H，Zha H Y. Perturbation analysis of the canonical correlation of matrix pairs[J].Linear Algebra and its Applications, 1994, 210: 3～28.

A necessary and sufficient condition for rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(A)-rank(AN(MTAN)-MTA)

ZHANG Qian, YUAN Yong-xin

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi435002, China)

Abstract:In this paper, by applying the canonical correlation decomposition of the matrix pair and the full rank decomposition of the matrix A, we obtain a necessary and sufficient condition for the validity of the rank subtractivity formula rank(A-AN(MTAN)-MTA)=rank(A)-rank(AN(MTAN)-MTA)

Key words:rank equality; canonical correlation decomposition(CCD); full rank decomposition; generalized inverse

doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2016.01.017

中图分类号：O241.6

文献标识码：A

文章编号：1009-2714(2016)01- 0090- 04

作者简介张骞(1989—)，男，河南省项城市人，硕士研究生，主要研究方向为代数学.

收稿日期2015—09—02