直径图为11圈的7距离集研究

王　琦，丛　悦，高飞星

(河北科技大学理学院，河北石家庄　050018)



直径图为11圈的7距离集研究

王琦，丛悦，高飞星

(河北科技大学理学院，河北石家庄050018)

摘要：如果平面点集X中的任意两点确定的互异距离数为k，则称X为k距离集。用d(x,y)表示平面上互异两点 x,y之间的距离，记X中的最大距离为直径D=D(X)。直径图DG(XD)是由X中所有直径构成的图，XD表示其顶点集。讨论了当X是一个7距离集时，直径图DG(XD)的构型。利用DG(XD)中最多包含一个圈，且只能为奇圈的特性，以及直径所具有的特殊性，证得当直径图为11圈时，其顶点集XD恰好为某正十一边形的顶点集。

关键词：离散几何；互异距离；直径图；奇圈; 7距离集

给定平面点集X，如果X中的任意两点确定的互异距离数为k，则称X为k距离集。d(x,y)表示平面上互异两点x，y之间的距离，记X中的最大距离为直径D=D(X)。设XD={x∈X:存在y∈X，使得d(x,y)=D},m=m(X)=|XD|表示XD中的元素个数。Rn表示正n边形顶点所构成的集合，Rn-i表示正n边形中n-i个顶点组成的集合。文献[1]中引入了直径图DG(XD)的概念，直径图DG(XD)是由X中所有直径构成的图，显然直径图中不含有孤立的点。Cn表示n个点构成的一个圈。当有n个点时，加法运算在模n的基础上进行。ERDÖS等[2]讨论了确定k距离的最大点集，记最大点集所含点数为g(k)，给出g(1)=3，g(2)=5，g(3)=7，g(4)=9，g(5)=12，对最多5距离集给出了详细的讨论，提出了两大猜想：g(6)=13且这样的13点集只有3个；确定g(k)(k≥7)的最大点集只能是正三角形格集的点构成。文献[3]论证了3距离集的构造。SHINOHARA在文献[1]论证了12点5距离集的构造唯一性。文献[4—7]中给出了11点5距离集的构造，7点4距离集的构造，证明了最大6距离集为13点集的猜想, 即g(6)=13。在文献[7]中对直径图为圈C2k-3的k距离集进行了分析。相关的研究见文献[8—15]。本文对直径图进行了研究， 设X是一个7距离集，如果DG(XD)=C11，那么必有XD=R11。

1相关引理

引理1[2]设D为平面n点集X的直径，其中n≥3，m=|XD|，那么：

1)如果m≥3，那么XD的点是凸m边形的顶点；

引理2[1]在X中，设直径图G=DG(X)。那么可以得到：

1)当k≥2时，G中不包含C2k，即G中只能包含奇圈。

2)G中最多只能包含一个圈。

引理3[4]在平面点集X中，设XD={1,2,…,m}，m=|XD|，m个点逆时针顺序连续排列，S⊂XD，S={k,k+1,k+2,…,k+l-1}。如果线段[k,k+l-1]是S中的最长线段，且d(k,k+i)

2主要结论

定理设X是7距离集，如果DG(XD)=C11，那么XD=R11。

证明设X是一个7距离集，且D=d1>d2>d3>d4>d5>d6>d7，DG(XD)=C11。通过引理1，可知XD是一个凸集。设XD={1,2,3,…,11}，点1,2,3,…,11按逆时针连续排列。定义线段[i,i+1]为XD的边，其中i∈XD。已知g(4)=9，g(5)=12，因此XD至少是5距离集。如果XD是一个5距离集，那么XD=R11，见文献[5]。如果XD是一个6距离集，DG(XD)≠C11，见文献[5]的定理13。

下面讨论XD是一个7距离集的情形。根据引理3，可以得到d7≤d(x,x+1)≤d5，其中x∈XD。可以断定XD的边长不全部相等。事实上，如果XD的所有边长相同，那么XD中的所有点都共圆，于是XD=R11，和XD是一个7距离集不符。下面分3种情形来证明。

情形1XD的边长均不为d5。

如果XD有10条边长度相等，那么它的所有点都在一个圆上，矛盾。于是XD最多有9条边相等。

情形1.1XD中有2条边长度为d6或2条边长度为d7(d6与d7讨论类似，2条边为d7的讨论省略)。

设XD中有2条边长度为d6。假设d(1,11)=d6，下面分5种类型讨论。

如果d(10,11)=d6，显然点1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共圆。因为d(5,6)=d(6,7)，那么点1，5，7，11共圆。于是点5，6，10，11共圆，即d7=d(5,6)=d(10,11)=d6，矛盾。

如果d(9,10)=d6，那么点1，2，3，4，7，8，9共圆，点1，2，6，8共圆。为了叙述方便，下文中出现的a,b分别表示点10，11。因为∠21b=∠ab1，于是点1，2，10，11共圆。∠1ba=∠9ab，于是点1，9，10，11共圆。因此点3，4，9，10共圆，即d7=d(3,4)=d(9,10)=d6，矛盾。

如果d(8,9)=d6，那么点3，4，5，6，9，10，11共圆，点1，3，9，11共圆。于是得到点1，5，6，11共圆，即d6=d(1,11)=d(5,6)=d7，矛盾。

如果d(7,8)=d6，那么点2，3，4，5，6，8，9，10，11共圆。因为∠678=∠987，所以点6，7，8，9共圆。于是得到点2，3，7，8共圆，即d6=d(7,8)=d(2,3)=d7，矛盾。

如果d(6,7)=d6，显然XD中的所有点都在同一个圆上，即d6=d(1,11)=d(5,6)=d7，矛盾。

情形1.2XD中有3条边长度为d6或者3条边长度为d7(d6与d7讨论类似，3条边为d7的讨论省略)。

XD中有3条边长度为d6。假设d(1,11)=d6。

情形1.2.1XD中至少有2条长度为d6的边是相邻的。下面分5种类型讨论。

如果d(10,11)=d(9,10)=d6，那么点1，2，3，4，7，8，9共圆。由于∠345=∠456=∠567，得到点3，4，5，6，7共圆，且点3，5，9，10共圆。于是得到点4，5，9，10共圆，即d6=d(9,10)=d(4,5)=d7，矛盾。

如果d(10,11)=d(8,9)=d6，那么点1，2，3，6，7，8共圆。因为∠235=∠653，所以点2，3，5，6共圆。于是可以得到点5，6，7，8共圆，即∠567=∠876，矛盾。

如果d(10,11)=d(7,8)=d6，那么点2，3，4，5，8，9，10共圆。由于∠125=∠652，点1，2，5，6共圆。于是得到点3，4，5，6共圆，即∠345=∠456，和已知∠345≠∠456矛盾。

如果d(10,11)=d(6,7)=d6，那么点1，2，3，4，5，7，8，9，10共圆，点4，6，10，11共圆。∠67a=∠ba7，所以点6，7，10，11共圆。于是可以得到点1，2，6，7共圆，即d6=d(6,7)=d(1,2)=d7，矛盾。

如果d(10,11)=d(5,6)=d6，显然XD中的所有点共圆，这意味着d6=d(1,11)=d(6,7)=d7，矛盾。

情形1.2.2XD中任意2条长度为d6的边是不相邻的。下面分5种类型讨论。

如果d(9,10)=d(7,8)=d6，那么点4，5，6，10，11共圆。由于∠67a=∠ba7，点6，7，10，11共圆。于是可以得到点4，5，6，7共圆，即d(4,6)=d(5,7)。然而已知∠456≠∠567，d(4,6)≠d(5,7)，因此矛盾。

如果d(9,10)=d(6,7)=d6，由于∠21b<∠678，d5≤d(2,11)

如果d(9,10)=d(5,6)=d6，那么∠21b<∠567，因此d5≤d(5,7)

如果d(8,9)=d(5,6)=d6，于是∠567<∠21b，得到d5≤d(5,7)

如果d(8,9)=d(4,5)=d6，∠9ab=∠567=∠234，也就是说d(5,7)=d(9,11)=d(2,4)，d(3,7)=d(2,9)。然而已知∠239≠∠327，即d(3,7)≠d(2,9)，矛盾。

情形1.3XD中有4条长度为d6或4条长度为d7的边(d6与d7讨论类似，4条边为d7的讨论省略)。

XD中有4条长度为d6的边。假设d(1,11)=d6。

情形1.3.1XD中至少有3条长度为d6的边是相邻的。下面分4种类型讨论。

如果d(10,11)=d(9,10)=d(8,9)=d6，那么点1，2，3，4，5，6，7，8共圆，且点2，4，8，9共圆。于是可得点2，3，8，9共圆，即d6=d(8,9)=d(2,3)=d7。

如果d(10,11)=d(9,10)=d(7,8)=d6，那么点2，3，4，8，9共圆。因为∠219=∠891，所以点1，2，8，9共圆。且点1，3，7，8共圆。因此得到点1，2，7，8共圆，即d6=d(7,8)=d(1,2)=d7，矛盾。

如果d(10,11)=d(9,10)=d(6,7)=d6，∠21b<∠678，所以d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(5,6)=d6，∠567<∠21b,所以d5≤d(5,7)

情形1.3.2XD中有2条长度为d6的边是相邻的。下面分12种类型讨论。

如果d(10,11)=d(8,9)=d(7,8)=d6，那么XD中所有点关于⊥9a对称，这里⊥9a表示线段[9,a]的垂直平分线。且点4, 5, 6, 7共圆，于是d(4,6)=d(5,7)。同时点1，5，6，10共圆，即d(1,5)=d(6,10)。∠512=∠712-∠617-∠516=∠4a9-∠5a6-∠4a5=∠6a9，于是Δ125≌Δa96，也就是说d(2,5)=d(6,9)。∠452=∠45a-∠251-∠15b-∠b5a=∠761-∠96a-∠a6b-∠b6a=∠769，于是d(2,4)=d(7,9) ，点2，4，7，9共圆。且点2，3，7，9共圆，点2，4，8，9共圆。可以得到点2，3，8，9共圆，即d6=d(8,9)=d(2,3)=d7，矛盾。

如果d(10,11)=d(6,7)=d(7,8)=d6，那么点1，6，8，10共圆，点1，2，6，8共圆，点1，5，6，10共圆。于是点1，2，5，6，8，10共圆。并且点2，3，4，5，8，9，10共圆。因此可以得到点5，6，8，9共圆，这意味着∠568=∠985，然而∠568=∠56b+∠167-∠16b-∠768≠∠389+∠287-∠283-∠786=∠985，矛盾。

如果d(10,11)=d(6,7)=d(5,6)=d6，那么XD中的所有点共圆，矛盾。

如果d(10,11)=d(8,9)=d(6,7)=d6，∠21b<∠678，因此d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(5,6)=d6，由于∠567<∠21b，因此d5≤d(5,7)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(4,5)=d6，∠456<∠1ba，因此d5≤d(4,6)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(3,4)=d6，∠234<∠789，于是d5≤d(2,4)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(2,3)=d6，∠789<∠123，于是d5≤d(7,9)

如果d(10,11)=d(7,8)=d(5,6)=d6，∠567<∠21b，于是d5≤d(5,7)

如果d(10,11)=d(7,8)=d(3,4)=d6，那么∠21b=∠234=∠678，因此d(2,4)=d(6,8)=d(2,11)，点2，6，8，11共圆，且点1，3，7，8共圆，点3，4，7，8共圆，点1，3，4，11共圆，点7，8，10，11共圆，点4，6，10，11共圆。于是可以得到点1, 6, 7, 11共圆，即d6=d(1,11)=d(6,7)=d7，矛盾。

如果d(10,11)=d(7,8)=d(4,5)=d6，∠456<∠21b，那么d5≤d(4,6)

如果d(10,11)=d(6,7)=d(4,5)=d6，∠21b<∠678，那么d5≤d(2,11)

情形1.3.3XD中任意2条长度为d6的边均不相邻。下面分4种类型讨论。

如果d(9,10)=d(7,8)=d(5,6)=d6，∠1ba<∠678,那么d5≤d(1,10)

如果d(9,10)=d(7,8)=d(4,5)=d6，∠9ab<∠678，那么d5≤d(9,11)

如果d(9,10)=d(6,7)=d(4,5)=d6，∠21b<∠678，那么d5≤d(2,11)

如果d(9,10)=d(6,7)=d(3,4)=d6，∠21b<∠678，那么d5≤d(2,11)

情形1.4XD中有5条长度为d6或者5条长度为d7的边(d6与d7讨论类似，5条边为d7的讨论省略)。

XD中有5条长度为d6的边。假设d(1,11)=d6。

情形1.4.1XD中至少有4条长度为d6的边是相邻的。下面分4种类型讨论。

如果d(10,11)=d(9,10)=d(8,9)=d(7,8)=d6，那么点1，2，3，4，5，6，7共圆。且点1，3，7，8共圆。可以得到点1，2，7，8共圆，即d6=d(7,8)=d(1,2)=d7，矛盾。

如果d(10,11)=d(9,10)=d(8,9)=d(6,7)=d6，此时可以得到∠21b<∠789，那么d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(8,9)=d(5,6)=d6，此时可以得到∠567<∠789，那么d5≤d(5,7)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(8,9)=d(4,5)=d6，此时可以得到∠456<∠789，那么d5≤d(4,6)

情形1.4.2XD中有3条长度为d6的边是相邻的。下面分9种类型讨论。

如果d(10,11)=d(9,10)=d(7,8)=d(6,7)=d6，∠21b<∠1ba，那么d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(7,8)=d(5,6)=d6，此时可以得到∠1ba<∠9ab，那么d5≤d(1,10)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(7,8)=d(4,5)=d6，此时可以得到∠9ab<∠21b，那么d5≤d(9,11)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(7,8)=d(3,4)=d6，此时可以得到∠89a<∠1ba，那么d5≤d(8,10)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(7,8)=d(2,3)=d6，此时可以得到∠123<∠678，那么d5≤d(1,3)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(6,7)=d(5,6)=d6，此时可以得∠21b<∠678，那么d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(6,7)=d(4,5)=d6，此时可以得到∠21b<∠678，那么d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(6,7)=d(3,4)=d6，此时得到∠21b<∠678=∠234，那么d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(9,10)=d(5,6)=d(4,5)=d6，那么XD中的所有点共圆，矛盾。

情形1.4.3XD中有2条长度为d6的边是相邻的。下面分12种类型讨论。

如果d(10,11)=d(8,9)=d(7,8)=d(5,6)=d6，此时可以得到∠1ba<∠789，那么d5≤d(1,10)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(7,8)=d(4,5)=d6，此时可以得到∠456<∠21b，那么d5≤d(4,6)

如果d(10,11)=d(7,8)=d(6,7)=d(4,5)=d6，此时可以得到∠456<∠789，那么d5≤d(4,6)

如果d(10,11)=d(7,8)=d(6,7)=d(3,4)=d6，∠21b<∠789=∠345，那么d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(6,7)=d(5,6)=d(3,4)=d6，此时可以得到∠456<∠678，那么d5≤d(4,6)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(6,7)=d(4,5)=d6，此时可以得到∠21b<∠89a，那么d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(6,7)=d(3,4)=d6，此时可以得到∠21b<∠678，那么d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(6,7)=d(2,3)=d6，此时可以得到∠21b<∠678，那么d5≤d(2,11)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(5,6)=d(3,4)=d6，此时可以得到∠567<∠21b=∠345，那么d5≤d(5,7)

如果d(10,11)=d(7,8)=d(5,6)=d(3,4)=d6，此时可得到∠21b>∠456，那么d5≤d(4,6)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(5,6)=d(2,3)=d6，此时可以得到∠567<∠123，那么d5≤d(5,7)

如果d(10,11)=d(8,9)=d(6,7)=d(5,6)=d6，此时可得到∠21b<∠789，那么d5≤d(2,11)

情形1.4.4XD中任意2条长度为d6的边是不相邻的。

假设d(9,10)=d(7,8)=d(5,6)=d(3,4)=d6，此时可以得到∠567<∠456，那么d5≤d(5,7)

情形2XD中仅存在一条长度为d5的边。

假设d(1,2)=d5，那么根据引理3可以得到，d(1,3)=d(2,11)=d4，d(1,4)=d(3,11)=d(2,10)=d3，d(1,5)=d(4,11)=d(3,10)=d(2,9)=d2。

情形2.1d(2,3)=d(1,11)=x。

由于d(1,3)=d(2,11)，那么∠123=∠21b，因此d(6,7)=d(7,8)。∠314=∠31b-∠41b=∠32b-∠32a=∠a2b，于是d(3,4)=d(10,11)。同理，由于∠4b5=∠93a，d(4,5)=d(9,10)。∠5b6=∠839，那么d(5,6)=d(8,9)。XD中的所有点关于⊥12对称, 这里⊥12表示线段[1,2]的垂直平分线。

情形2.1.1假设d(2,3)=d(1,11)=d6。

假设d(3,4)=d6，d(6,7)=d7。如果d(4,5)=d6，d(5,6)=d7，那么可以得到∠34a<∠239，即d2=d(2,9)>d(3,10)=d2，矛盾。如果d(4,5)=d7，d(5,6)=d6，那么∠34a>∠239，可以得到d2=d(2,9)d(5,9)>d(4,11)=d2，矛盾。如果d(4,5)=d6，d(5,6)=d6，∠239<∠327，也就是说D>d(3,7)>d(2,9)=d2，不成立。

假设d(3,4)=d7，d(6,7)=d6。如果d(4,5)=d6，d(5,6)=d7，那么可以得到∠561<∠65a，即D>d(6,10)>d(1,5)=d2，矛盾。如果d(4,5)=d7，d(5,6)=d6，那么∠561<∠65a，可以得到D>d(6,10)>d(1,5)=d2，矛盾。如果d(4,5)=d7，d(5,6)=d7，可以得到∠561<∠65a，于是D>d(6,10)>d(1,5)=d2，矛盾。如果d(4,5)=d6，d(5,6)=d6，∠561<∠65a，也就是说D>d(6,10)>d(1,5)=d2，不成立。

假设d(3,4)=d7，d(6,7)=d7。已知d(1,2)=d2，d6=d(1,11)>d(10,11)=d7，因此得到∠561<∠65a。也就是说D>d(6,10)>d(1,5)=d2，矛盾，因此假设不成立。

综上可得，当d(2,3)=d(1,11)=d6时不成立。

情形 2.1.2假设d(2,3)=d(1,11)=d7。

假设d(3,4)=d6。如果d(4,5)=d7，那么∠5a9>∠39a，于是得到D>d(5,9)>d(3,10)=d2，矛盾，因此d(4,5)=d6。如果d(5,6)=d7，那么∠6ba>∠4ab，于是得到D>d(6,10)>d(4,11)=d2，矛盾，因此d(5,6)=d6。如果d(6,7)=d7，那么∠71b>∠5b1，于是得到D>d(7,11)>d(1,5)=d2，矛盾，因此d(6,7)=d6。然而此时可以得到∠678<∠89a<∠789，那么d5≤d(6,8)

假设d(4,5)=d6。如果d(5,6)=d7，那么∠438>∠34a，也就是说D>d(4,8)>d(3,10)=d2，矛盾，因此d(5,6)=d6。如果d(6,7)=d7，那么∠71b>∠5b1，也就是说D>d(7,11)>d(1,5)=d2，矛盾，因此d(6,7)=d6。此时可以得到∠678<∠789，即d5≤d(6,8)∠5a9,所以d2=d(4,11)>d(5,9)=d2，矛盾。因此d(4,5)=d7。

假设d(5,6)=d6。如果d(6,7)=d7，那么∠71b>∠1b5，也就是说D>d(7,11)>d(1,5)=d2。如果d(6,7)=d6，那么∠789>∠678，于是可以得到d5≤d(6,8)d(6,10)=d2，矛盾。因此d(5,6)=d7。

假设d(6,7)=d6。已知d(2,3)=d(3,4)=d(4,5)=d(5,6)=d7，那么点1，2，3，4，5，6，8，9，10，11在同一个圆上。且d(6,8)>d(1,2)，那么可以得到d(6,8)=d4。如果d(5,7)=d(7,9)=d4，那么d(1,3)=d(7,9)=d4，于是点1，3，7，9共圆。因此可以得到XD中的所有点共圆，即d5=d(1,2)=d(7,8)=d6，矛盾。因此d(5,7)=d(7,9)=d5。如果d(4,6)=d(8,10)=d5，∠456=∠234，于是d(4,6)=d(2,4)=d5，且d(7,9)=d5，点2，4，7，9共圆。因此可以得到XD中的所有点共圆，即d5=d(1,2)=d(7,8)=d6。因此d(4,6)=d(8,10)=d6。已知d(6,8)=d4，因为∠327<∠239，所以d2=d(2,9)>d(3,7)≥d3。于是可以得到d(4,7)=d(6,8)=d4，d(4,6)=d(6,7)=d(7,8)=d6。所以点4, 6, 7, 8共圆。那么XD中的所有点共圆，即d5=d(1,2)=d(7,8)=d6，矛盾。因此d(6,7)=d7。

到此为止，推得d(3,4)=d(4,5)=d(5,6)=d(6,7)=d7，从而XD中的所有点共圆，即d5=d(1,2)=d(7,8)=d7，矛盾。

综上可得，当d(2,3)=d(1,11)=d7时不成立。

情形2.2d(2,3)≠d(1,11)。

此时假设d(2,3)=d6，d(1,11)=d7(如果d(2,3)=d7，d(1,11)=d6，证明类似)。

如果d(3,4)=d7，那么∠289<∠498，D>d(4,8)>d(2,9)=d2，矛盾，因此d(3,4)=d6。如果d(4,5)=d7，那么∠39a<∠5a9，D>d(5,9)>d(3,10)=d2，矛盾，因此d(4,5)=d6。如果d(5,6)=d7，那么∠4ab<∠6ba，D>d(6,10)>d(4,11)=d2，矛盾，因此d(5,6)=d6。如果d(6,7)=d7，那么∠5b1<∠71b，D>d(7,11)>d(5,1)=d2，矛盾。因此d(6,7)=d6。

如果d(10,11)=d6，那么∠567>∠456。由引理3可得d5≤d(4,6)

如果d(9,10)=d6，那么∠456>∠345。由引理3可得，d5≤d(3,5)∠34a，即d2=d(3,10)

如果d(8,9)=d6，那么∠234<∠345，于是d5≤d(2,4)∠239，也就是说d2=d(2,9)

如果d(7,8)=d6，那么∠678<∠456，于是d5≤d(6,8)∠239，即d2=d(3,7)

因此当d(2,3)≠d(1,11)时不成立。

情形3XD中存在至少2条长度为d5的边。

假设d(1,2)=d5，那么根据引理3可以得到，d(1,3)=d(2,11)=d4，d(1,4)=d(3,11)=d(2,10)=d3，d(1,5)=d(4,11)=d(3,10)=d(2,9)=d2。

情形3.1 假设d(6,7)=d5(如果d(7,8)=d5证明类似)。

通过引理3可得，d(5,7)=d(6,8)=d4，d(4,7)=d(5,8)=d(6,9)=d3，d(3,7)=d(4,8)=d(5,9)=d(6,10)=d2。由于∠567=∠176-∠175=∠712-∠713=∠213，得到Δ137≌Δ751，因此d(2,3)=d(5,6)。由于∠314=∠317-∠417=∠571-∠471=∠475，可以得到d(3,4)=d(4,5)。由于∠12b=∠126-∠b26=∠762-∠862=∠768，因此d(1,11)=d(7,8)。由于∠869=∠862-∠962=∠b26-∠a26=∠a2b，因此d(10,11)=d(8,9)。由于∠849=∠843-∠943=∠a34-∠934=∠93a，因此d(9,10)=d(8,9)。由于∠738=∠732-∠832=∠923-∠823=∠928，因此d(7,8)=d(8,9)。由于∠4b5=∠4ba-∠5ba=∠6ab-∠5ab=∠5a6，因此d(4,5)=d(5,6)。于是可以得到d(2,3)=d(3,4)=d(4,5)=d(5,6)，d(7,8)=d(8,9)=d(9,10)=d(1,11)。

情形3.2 假设d(5,6)=d5(如果d(8,9)=d5，证明类似)。

已知d(6,7)≠d5，因此d(5,6)>d(6,7)。然而∠1b5<∠b17，即d2=d(1,5)

情形3.3假设d(4,5)=d5(如果d(9,10)=d5，证明类似)。

已知d(5,6)≠d5，因此d(4,5)>d(5,6)。然而∠4ab<∠6ba，即d2=d(4,11)

情形3.4假设d(3,4)=d5(如果d(10,11)=d5，证明类似)。

已知d(4,5)≠d5，因此d(3,4)>d(4,5)。然而∠39a<∠5a9，即d2=d(3,10)

情形3.5假设d(2,3)=d5(如果d(1,11)=d5，证明类似)。

已知d(3,4)≠d5，因此d(2,3)>d(3,4)。然而∠289<∠498，即d2=d(2,9)

综上可得，DG(XD)中不存在2条长度为d5的边。

定理1的证明完成。

3结语

文献[7]对直径图为圈的k距离集进行了研究，由文献[1]知这样的圈只能为偶圈。文献[7]中提出猜想：当k距离集的直径图DG(XD)=C2k-3时，直径图的顶点集XD=R2k-3。当3距离集的直径图DG(XD)=C3时，显然有XD=R3；当4距离集的直径图DG(XD)=C5时，由文献[6]可得XD=R5以及引理6提出的2类构型；文献[7]中给出了k=5,6时猜想的正确证明。本文证明当k=7时，猜想正确，但论文证明分类进行，证明方法对k≥8的情形显然不适宜，期望在后续对较大k的研究中，能够发现更加行之有效的办法。

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Research on 7-distance set withDG(XD)=C11

WANG Qi, CONG Yue, GAO Feixing

( School of Science, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang, Hebei 050018, China)

Abstract:A planar point set X is called a k-distance set if there are exactly k distances between two distinct points in X. Let d(x,y) be the distance of any two distinct points x,y. Let diameter D=D(X) be the longest distance of X. The diameter graph DG(XD) is composed of all diameters in X, where XD is the set of its endpoints. In this paper, the configuration of the diameter graph DG(XD) is discussed when X is a 7-distantce set. It is proved that the endpoint set XD is the endpoint set of the regular 11-sided polygon when the diameter graph has 11 cycles based on the characteristics of DG(XD) containing at most one and only odd cycle and the diameter specialty.

Keywords:discrete geometry; distinct distance; diameter graph; odd cycle; 7-distance set

中图分类号：O157.3MSC(2010)主题分类：52C15

文献标志码：A

作者简介：王琦(1973—),女，河北承德人，讲师，硕士，主要从事组合数学方面的研究。

基金项目：河北省自然科学基金(A2014208095)

收稿日期：2015-10-17；修回日期：2015-12-15；责任编辑：张军

doi:10.7535/hbkd.2016yx02006

文章编号：1008-1542(2016)02-0146-08

E-mail:wqi73@163.com

王琦，丛悦，高飞星.直径图为11圈的7距离集研究[J].河北科技大学学报,2016,37(2):146-153.

WANG Qi, CONG Yue, GAO Feixing.Research on 7-distance set withDG(XD)=C11[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2016,37(2):146-153.