建模，让计算教学丰盈起来——以《两位数乘两位数》教学为例

赵红婷

近日，有幸聆听了苏州市教研员刘晓萍老师执教苏教版三上《两位数乘两位数》一课，其以生为本的课堂氛围，传递着最新的课改气息。教师的教学立足于学生的数学现实，将教学落实在学生最需要的地方。教师从学生熟悉的事例和已有经验出发，引导其经历将实际问题抽象成数学模型的过程，通过数形结合，学生理解了算理，掌握了算法，并顺利建构了两位数乘法的计算模式。

一、借助生活事例，凸显算式模型

数学是源于生活、寓于生活并应用于生活的一门学科，每个数学模型都有着现实的“生活原型”。数的运算，其实质是对现实生活中物体的个数进行运算，小学阶段每个算式都可以在生活中找到实例。理解算理时，除了要与实际情境相结合，还须逐步将之过渡为数学语言符号。计算教学中，巧妙借助生活事例，赋予算式以丰富的内涵，再进行抽象提炼，便能顺利凸显算式模型。

1.用数学语言讲现实故事。

史宁中教授说：“模型就是用数学的语言讲述现实世界的故事。”的确，看似简单的算式，其背后却藏着很多的故事，任何一个算式都可看成一个“模型”。课伊始，简单复习口算后，教师就引导学生思考：“19×13能解决哪些生活问题？”学生分别举出了如下事例：一支钢笔19元，13支钢笔多少元？一筐水果19元，13筐水果多少元？一条裤子19元，13条裤子多少元？……这时，教师追问：“这样的故事能讲完吗？如果19表示每行摆19朵花，那么乘13表示什么？”学生说：“乘13表示有这样的13行。”这时，教师顺势用课件出示花图，接着，教师再问：“如果19表示每行摆19根小棒，那么乘13表示什么？”学生说：“乘13表示有这样的13行。”至此，通过师生讲故事，“19×13”这一算式模型背后的丰富意义就已展现无遗。

2.赋数学算式以一般意义。

学生举例后，教师呈现出红花和小棒的例子，再次追问：“这样的故事能讲完吗？”学生表示讲不完，感受到了“19×13”这一模型的丰富内涵，教师指出：如果每个东西都用一个点子来表示，请大家想象一下19×13表示的点子图。同时，课件逐渐将花和小棒抽象后形成点子图，使学生意识到：已知一份是19，求13份是多少，都能用19×13计算。由具体、形象的实例开始，借直观图予以内化和强化，最后通过思维发散和联想加以扩展和推广，赋予“19×13”以一般的模型意义。教师渗透了初步的数学建模思想，训练了学生抽象、概括、举一反三的学习能力。

二、依托直观图式，建构算理模块

算理是四则计算的理论依据，它是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识。算理是计算的道理，体现了计算过程的思维方式，它解决为什么这样算的问题。算理为算法提供了理论指导，算法使算理具体化。在计算教学过程中，教师应更多关注学生对算理的理解，可引导学生在直观形象中理解算理，使其不仅知道计算方法，而且明白驾驭方法的原理。

1.看图估计，确定积的范围。

掌握了“19×13”这一算式内涵之后，教师设问：“19×13的积可能是几位数？”学生说，可能是三位数。之后，教师并不急着让学生计算精确结果，而是让学生先估算。一生说：“可以这样估算：20×13=260。”教师顺势引导学生观察点子图，得出：这样估算比原来大。另一生说：“还可以这样估算：19×10=190。”学生再结合点子图进行比较，发现：这样估算比原来小。通过点子图，直观比较了估算值与精确值的大小，清晰地分析了积的许可范围。这样的看图估计，发展了学生的估算意识，培养了他们良好的数感。

2.借图说理，形成算理模块。

估算之后，教师提问：“这道题能不能先算一部分，再算一部分？”教师引导学生在练习纸的点子图上圈一圈、算一算。汇报时，有学生这样算:19≈20，20×13=260，260-13=247，还有学生这样算：19×10=190，19 ×3=57，190+57=247。学生叙述计算过程时，教师能紧密联系点子图，帮助学生理解算理，将数与形结合，顺利建构了两位数乘法的算理模块，即：先算其中一部分，再算另一部分，然后两部分相加。借助点子图，进行形式化演算，使两位数的算理更直观易懂。在此，点子图成为说明算理的好载体，直观的演算，促使学生顺利建构了算理模块。

三、进行方法比较，强化算法模式

算法是实施四则计算的基本程序和方法，通常是算理指导下的一些人为规定。计算教学既需要让学生在直观中理解算理，也需要让学生掌握抽象的法则，更需要让学生充分体验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程，从而达到对算理的深层理解和对算法的切实把握。

1.算法求同，形成程式。

直观理解算理后，教师引导学生比较口算和笔算的相同点，学生发现，口算和笔算虽然写法不同，但其思路是一致的。教师分析笔算算法时，能联系口算来理解，讲个位、十位分别乘两位数的时候她用小黑板贴住另一个数，即，讲个位的时候遮十位数，讲十位的时候遮个位数，这样的处理，能使学生更清楚地看到竖式计算的过程，促使学生在竖式上进行形式化的演算，帮助学生完成笔算方法的程式化建构。通过口算和笔算的比较，学生理解了两位数乘法的计算方法。

2.前后贯通，提炼方法。

新授后，教师引导学生试算14×21，并让学生尝试概括笔算方法。至此，刘老师并未罢手，而是充分利用课始两道口算题（34×3，34×20），引领学生将这组算式组合成两位数乘两位数的乘法算式（34×23），通过计算，再次领悟算法。在算理直观与算法抽象之间架设一座桥梁，让学生在充分体验中逐步完成“动作思维、形象思维、抽象思维”的发展过程。形成初始竖式后，并未过早抽象出一般算法，而是让学生运用这种初始模式再计算几道题，才提炼出两位数乘两位数的笔算方法。这种前后贯通的压缩、提取过程，有利于学生构建合理的算法模式。

史宁中教授指出：“数学思想有三个：抽象、推理、模型。”数学模型是数学知识的核心内容，它体现了数学应用的核心价值。从本质上说，数学就是在不断抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。数学学习只有深入到“模型”“建模”的意义上，才是一种真正的数学学习。在计算教学中，活用数学模型，将其渗透到实际教学环节中去，可以帮助学生更好地理解算理模块和算法模式，顺利建构有关两位数乘法的计算模型，推动学生数学思维素养的稳步提升。在探索数学模型的过程中，学生同时也获得了解决实际问题的思想、程序与方法，这对学生发展来说，其意义远大于仅仅获得某些数学知识。可以这么说，建模，也让计算教学变得丰盈起来。