有限长螺线管的磁场分布和漏磁现象的再探索

于欣峰刘义东刘普生王建东吴 喆（电子科技大学微电子与固体电子学院，四川成都 60054；电子科技大学物理电子学院，四川成都 60054）



有限长螺线管的磁场分布和漏磁现象的再探索

于欣峰1刘义东2刘普生2王建东2吴 喆2
（1电子科技大学微电子与固体电子学院，四川成都 610054；2电子科技大学物理电子学院，四川成都 610054）

摘 要为了辅助大学物理电磁学教学，加深学生对螺线管模型的理解，本文采用毕奥－萨伐尔定律给出有限长螺线管在空间的磁场的具体数学表达式，并绘制出磁力线和磁感应强度分布．在获得磁场分布的基础上，本文还深入研究螺线管侧壁的漏磁，并提出相对磁通量的概念来描述漏磁．本文的研究结果表明，螺线管长度约等于直径时侧壁的漏磁最严重，约为螺线管中心横截面上最大磁通量的40%．本文结论对螺线管的工程应用和大学物理电磁学教学中螺线管的模型的深入理解有一定的价值．

关键词大学物理教学；有限长螺线管；磁场分布；漏磁

1 问题的提出

螺线管是大学物理电磁学中的重要模型［1］，但是在大学物理电磁学的教学中常常将螺线管视为无限长以方便计算，此时忽略了螺线管的边缘效应．而学生往往期望知道有限长螺线管的磁场分布．另外，很多大学物理教材常常用图1所示的有限长螺线管的磁力线图形来定性描述磁力线与电流的关系，缺乏更深入的分析．虽然目前已经有很多论文［2－5］研究有限长的螺线管的电磁场分布，但几乎没有给出螺线管磁感应强度的数学表达式（非积分式），也很少对螺线管的漏磁现象进行深入的分析．另外电磁仿真软件也可以轻松地对螺线管的磁场分布和磁力线进行仿真，但其“黑盒子”般的功能对学生的学习并无太多益处．因此本文除了导出有限长螺线管磁场分布表达式以外，还将深入分析有限长螺线管的漏磁现象．

图1　教材中有限长螺线管磁力线和电流关系的示意图

2 模型的建立和磁场计算

图2为有限长螺线管的示意图．设长螺线管长度为L，半径为R．建立坐标系，z轴与螺线管轴线重合，xOy平面将螺线管分为上下对称的两部分．为了分析方便，不妨将螺线管考虑成密绕螺线管，其电流流动方向与z轴正方向呈右手螺旋关系，设轴向单位长度上的电流为j．

考虑到螺旋管的旋转对称性，不妨研究其剖面yOz平面上的磁场分布，即点P（0，y，z）处的磁感应强度．在螺线管侧壁上坐标z′处取宽度为dz′的环形电流jdz′，再在此环形电流上坐标A（Rcosθ，Rsinθ，z′）处取一个长度为Rdθ的电流元jdz′Rdθ．点A与点P的距离为r＝［（z－z′）2＋R2＋y2－2Rysinθ］1／2．根据毕奥－萨伐尔定律可给出电流元在P处的磁感应强度为

图2　有限长螺线管示意图

经过复杂的积分，可以得到上述3个方程的表达式如下：

其中，

F（＊，＊）和K（＊）分别是第一类不完全和完全椭圆积分，E（＊，＊）和E（＊）分别是第二类不完全和完全椭圆积分，Π（＊，＊，＊）和Π（＊，＊）分别是第三类不完全和完全椭圆积分．

方程（5）给出Bx＝0，意味着磁场在螺线管的任意剖面上没有垂直于纵剖面的分量，这也说明磁场分布的中心旋转对称特性．By和Bz均由椭圆积分组成，比较复杂，需要进一步进行数值分析．

3 磁场的分布和磁力线

根据图2所示的模型，我们得到公式（5）、（6）和（7）所示的磁场分布．下面将采用Matlab软件，对这3个公式进行编程计算，并获得磁场强度的分布特征和磁力线分布特征．磁感应强度分布为

图3　纵剖面上有限长螺线管的磁力线和磁感应强度分布（a）L／R＝0．002，（b）L／R＝1，（c）L／R＝3

图3给出任意纵剖面（即过z轴的平面，如yOz面）上有限长螺线管的磁力线和磁感应强度分布．为了绘制方便，这里图形绘制的是4πB／μ0j ∝B，这里的单位长度上的电流j仅仅影响磁感应强度的绝对数值，而不影响其分布特征．

由图3（a）、（c）和（e）可以看出，公式（5）、（6）和（7）给出了人们熟识的有限长螺线管的磁力线分布特征，即电流与磁力线相互套合，磁力线并不相交．从图3（e）中还可看到，磁力线将从螺线管侧壁上穿出，这是因为螺线管的有限长度引起侧壁某处的上下段在该处产生的磁场的矢量和不为零所致．这也是螺线管的边缘效应的具体体现，而在大学物理教学中很多师生在关注无限长螺线管时往往忽略了磁力线也是可以穿透螺线管壁的．对比图3（c）和（e）可知，随着螺线管的加长，螺线管外侧的磁力线越来越稀，这说明外侧的磁场越来越小，边缘效应也越来越小．

图3（b）、（d）和（f）给出磁感应强度分布图．当螺线管长度远远小于螺线管半径时，如图3（b），此时螺线管可以看成是单圈环形电流，此时磁场主要集中在环形电流附近，在图3（b）中表现为两个亮斑．当螺线管的长度较大时，如图3（d）和（f），螺线管内纵剖面上的磁感应强度分布呈马鞍状分布，沿着轴线（z轴）正负方向磁感应强度逐渐减小，而背离轴线方向磁感应强度逐渐增加，到螺线管侧壁达到最大．螺线管外磁感应强度由近及远逐渐减小．需注意的是螺线管边缘，即图3（d）和（f）中心矩形区域的4个角上，出现很小但很亮的较亮区域，说明此处磁感应强度较大．这是因为螺线管电流对磁力线的“约束”导致磁力线在螺线管边缘的剧变，反映磁力线密度变大，磁感应强度变大．

图3（c）和（e）还表明，随着螺线管长度的增加，螺线管中磁力线区域平行和均匀，同时如图3（d）和（f）所示，中心磁感应强度的鞍点区域越来越大，越来越平．这说明螺线管中部的磁场趋近于匀强磁场．另外，随着螺线管增长，螺线管内靠近两端的磁场不均匀区域相对于整个螺线管内的区域越来越小．当螺线管区域无限长时，两端内有明显侧边缘效应的区域趋于零，此时整个螺线管内都为匀强磁场．

4 漏磁现象

由于螺线管的旋转对称特性，其横截圆面上的磁场分布是中心对称的，磁通量为

为了研究漏磁现象，我们定义Φ（z）／Φ（0）为螺线管横截面的相对磁通量，即沿轴向不同位置处的横截圆面上的磁通量与xOy处横截圆面上的磁通量的比值．相对磁通量越小，螺线管侧壁的漏磁越严重．图4给出不同长度螺线管的相对磁通量的变化曲线（实线）和螺线管端面的相对磁通量随螺线管长度的变化关系．这里螺线管长度与半径的比为L／R＝2－4，2－3，…，25，26，27，相应于螺线管端面的轴向坐标z／R＝2－5，2－4，…，24，25，26。

图4中任意一条实线表明，随着螺线管长度的增加，沿着螺线管轴线方向的横截面上的相对磁通量将逐渐减小，这说明在侧壁上漏掉的磁通量逐渐增加．另外，实线先是平缓变化然后在靠近端面时迅速减小，这说明螺线管侧壁的漏磁主要出现在螺线管两端，其中部的漏磁很少．这与图3的显示的规律是吻合的．

值得注意的是，螺线管端面的相对磁通量（如图4中实线的线端所示）将会随着螺线管长度的变化而变化．其规律是，随着螺线管长度的增加，端面相对磁通量不会一直减小或增加，而会先减小后增加，在z／R＝2附近有极小值（约为0．6）．另外在z／R→∞时端面相对磁通量将向1靠近，这表明螺线管足够长时，其上环形电流可以束缚磁力线以使得螺线管内任何地方的磁通量趋于相同．图4中虚线出现极小值给我们一个有用的提示，在需要其侧面漏磁越多的场合（如利用螺线管作为信号传感元件），则可以设计螺线管的长度约等于螺线管的直径，此时泄露的磁通量将近其最大磁通量的40%．反之则最好增加螺线管的长度或者减小螺线管直径．

图4　相对磁通量随坐标z的变化曲线，a～l分别对应螺线管长度与半径的比为L／R＝2－4，2－3，…，25，26，27．其中虚线为螺线管端面相对磁通量随着螺线管长度的变化规律

5 结语

本文对常见的有限长螺线管作了再探索．利用毕奥－萨伐尔定律推导出空间磁感应强度的数学表达式，并用Matlab进行数值仿真绘制出不同螺线管长度和半径比时的磁力线分布和磁感应强度分布．特别地，本文还给出相对磁通量的概念用以研究侧壁漏磁的特征，一个是侧壁漏磁主要发生在靠近螺线管两端的地方，二是螺线管端面的相对磁通量存在一个极小值，此极小值表明螺线管侧壁的漏磁在螺线管长度约等于直径时达到最大（接近40%）．本文结论对螺线管的工程应用和大学物理教学中螺线管模型的深入理解有一定价值．

参考文献

［1］ Serway R A，Jewett J W．Physics for scientists and engineers with modern physics［M］．8th ed．Belmont：Brooks／Cole，2010．

［2］ 李建华，罗祎存．有限长螺线管磁场的全空间解［J］．青海师范大学学报：自然科学版，1988（03）：79－84．

［3］ 任俊刚，赵春旺．有限长螺线管磁场的全场分布［J］．物理通报，2010（10）：23－25．

［4］ 惠小强，陈文学．有限长通电螺线管空间的磁场分布［J］．物理与工程，2004，14（02）：22－25．

［5］ 邰爱东．有限长直密绕螺线管的自感系数［J］．物理与工程，2003，13（06）：8－9．

FURTHER EXPLORATION OF THE DISTRIBUTION OF MAGNETIC FIELD AND THE MAGNETIC FLUX LEAKAGE PHENOMENON OF THE FINITE LENGTH SOLENOID

Yu Xinfeng1Liu Yidong2Liu Pusheng2Wang Jiandong2Wu Zhe2
（1School of Microelectronics and Solid－State Electronics，University of Electronic Science and Technology，Chengdu，Sichuan 610054；2School of Physical Electronics，University of Electronic Science and Technology，Chengdu，Sichuan 610054）

AbstractIn order to assist the teaching and studying of university physics electro magnetics and deepen the students’understanding of solenoid model，the mathematical formulas of the magnetic field of a finite length solenoid are proposed by using the Biot－Savart Law and the magnetic field lines and magnetic field distribution are also given．Base on the magnetic field distribution，the of magnetic flux leakage on the solenoid’s side wall is further studied and the concept of relative magnetic flux is also put forward to describe the magnetic leakage flux．Following deeper analysis，we find maximun magnetic flux leakage on the side wall of the solenoid when the length of the solenoid approximates its diameter．The maximun magnetic flux leakage is about 40%of that on the central cross section of the solenoid．This conclusion is useful for engineer applications of the solenoid and deeper understanding of the model of the solenoid in teaching and studying of university physics electro magnetism．

Key wordsteaching and studying of university physics；finite length solenoid；magnetic field distribution；magnetic flux leakage

通讯作者：刘义东，男，副教授，主要从事物理教学科研工作，研究方向是激光物理与光信息技术电子．liuyd＠uestc．edu．cn

作者简介：于欣峰，男，微电子专业在读本科生．

基金项目：全国大学生学术物理竞赛（CUPT）对本科生创新能力培养作用的研究（电子科技大学教学改革研究项目，项目编号：2015XJYYB019）．

收稿日期：2015－01－12