扭摆法测量转动惯量实验数据处理及误差讨论

潘小青 刘超飞 朱 云（江西理工大学理学院，江西赣州 341000）



扭摆法测量转动惯量实验数据处理及误差讨论

潘小青 刘超飞 朱 云
（江西理工大学理学院，江西赣州 341000）

摘 要扭摆法测量转动惯量是大学物理实验中一个重要的项目．现行物理实验教材中，其相对误差分析通过对比转动惯量理论值与实验测量值得到，这种处理方式值得商榷．本文针对这一问题，采用不确定度计算，分别讨论了转动惯量的理论值与实验值的不确定度公式，并比较了两种转动惯量计算结果的差别，分析其产生的可能原因．并提出了用线性拟合作图法验证平行轴定理的新思路，根据微扰理论提出了得到扭转常数与摆幅相互关系的测量方案和减少误差的处理途径．最后用数值计算讨论了同时考虑摩擦阻力和扭转常数随摆角变化对摆动周期的影响．

关键词扭摆；转动惯量；不确定度；数据处理；误差

转动惯量是表征物体转动惯性大小的物理量，是研究、设计、控制物体转动特性的重要技术参数．扭摆法测量转动惯量是大学物理实验中常见的实验项目，这个实验涉及基本物理量——质量、长度、时间的测量，同时包含转换测量的实验方法及数据处理方法，内容颇为丰富．大部分教材在实验数据处理时都是用扭摆实验测量出的转动惯量值与用转动惯量定义计算的所谓理论值比较进而计算相对误差及验证平行轴定理［1、2］，这种数据处理方式值得讨论．

1 通用实验教材中的实验数据处理方法

1．1 转动惯量计算

设K为弹簧的扭转常数，I为物体绕转轴的转动惯量，忽略各种摩擦和阻力，可推出扭摆运动具有角谐振动的特性，此谐振动的周期为

若已知K，通过测量摆动周期T可得转动惯量I

在转轴上装上对此轴的转动惯量为I0的金属载物圆盘，测出其摆动周期T0，再在载物圆盘上放置转动惯量为I1的塑料圆柱体（圆柱体转动惯量

进一步可分别得到圆柱体转动惯量的所谓理论值和实验值如表1［3］．

表1中分别考虑球支架转动惯量给定实验值I支，细杆夹具转动惯量给定实验值I夹．验证平行轴定理时在细杆上套入滑块，测出组合系统转动惯量，下式中I5为两个滑块绕通过滑块质心转轴的转动惯量，可通过定义式计算：其中m为其质量，D为其直径），则系统总的转动惯量为（I1＋I0），此时摆动周期为T1．推导得到弹簧的扭转常数为

其中，m1，m2分别为两滑块质量；D内、D外分别为滑块的内径和外径；L1为滑块的长度．

表1　转动惯量计算式

1．2 误差计算与存在问题

实验数据分析时，所有教材均采用理论值与实验值比较计算相对误差，以此作为评价实验结果好坏的依据，下面分析这种方法的问题所在．

首先，本实验中所谓的理论值实际只是按照转动惯量定义通过测量规则物体的质量和几何参量而计算出来的，它也是一个实验测量值，只是所用方法不同而已，并不足以作为公认标准值．与用扭摆法测量的转动惯量值相比，不能主观地判定谁优谁劣，由此得出的所谓相对误差并不能反映实验结果的准确度．

其次，上述数据计算和误差处理过程从头至尾采用单一一种计算模式，数据量大，计算过程冗长，反反复复用同一公式计算，极易出错，学生容易产生厌烦心理，而对本实验所包含的实验原理、思路、方法却茫然，不利于培养学生实验能力．

2 改进实验数据处理方法

2．1 转动惯量计算

考虑到系统扭转常数是个中间量，不需要直接计算，而圆柱体按定义式测量出的转动惯量是求解其他物体转动惯量的基础，将其他待测物体转动惯量表示成对应摆动周期和圆柱质量、直径的函数，无需中间计算环节，所得公式如下：

2．2 作图法验证平行轴定理

由平行轴定理，滑块对称置于细杆上距离转轴

另外由公式（2）知系统转动惯量与摆动周期

由式（4）可知只要在坐标纸上作T2－x2图，对所测数据进行线性拟合，则可验证平行轴定理．

2．3 实验数据处理

本实验数据测量的准确度主要由摆动周期、圆柱体质量和直径3个量决定，结果的不确定度可推导出来［4，5］，对载物盘、球体、细杆系统，转动惯量测量的不确定度为T的平方成正比，因而有

对圆筒转动惯量测量的不确定度为

2．4 不确定度计算及作图法处理实验数据

根据一组实验测量数据，按照上述方式进行数据处理，结果如表2所示．

对平行轴定理的验证可有不同的方法［6］，现采用作图法进行数据线性拟合，得到如图1所示线性拟合图形，并可由图形得到拟合公式．由图可知T2与x2成线性关系，说明平行轴定理成立．

表2　不同物体转动惯量计算结果

图1　T2－x2图

3 结果讨论

由计算结果可知，用转动惯量理论式通过称量质量和直径得到的转动惯量值较由扭摆实验得出的值略大，理论计算法与扭摆法相比较附加效应少从理论上而言要更准确些．通过实验显示两组数据的测量不确定度相近，并没有哪一个更优．因而一些教材中将理论值作为标准来计算扭摆实验测量结果的相对误差值得商榷．采用作图法来验证转动惯量的平行轴定理，避免了繁杂的数学计算，而且给学生练习一种数据处理的新方法，有助于开拓学生思路．

4 系统误差

4．1 阻力的影响

在扭摆实验中，理论上假定螺旋弹簧的扭转系数为定值，且扭力矩与转角成正比并忽略摩擦阻力，这些理想条件对实验环境提出了较高要求，在学生实验中不可避免会造成系统误差［7］，下面分别对此作分析讨论．

由于摩擦阻力的影响扭摆作阻尼振动，摆幅随时间而减小，考虑黏性阻尼，系统作准周期运动，摆动周期为［8］可见如果考虑阻尼因素，扭摆周期比无阻尼时变长，但这时各待测物的转动惯量计算式不变，因而结果的准确度主要由待测物、载物盘与标准物的质量有关．质量越大，由不确定度公式可知，相对不确定度更小．当然实际操作中由于待测物大小和形状的不同，难于保持阻尼系数在实验过程中不变，这也会引起附加的误差．

4．2 扭转常数和摆角的影响

有实验研究表明［9］，螺旋弹簧的扭转常数K与摆动幅度有关，在小于70°时变化较大，在90°～

式中β为阻尼系数．从而转动惯量为150°范围变化较小，由此要求在实验中同一组数据尽量保持从同一角度开始偏转．

在此，根据微扰理论［10］先提出一套可以测量扭转常数K与摆动幅度测量相互关系的测量方案．用K（θ）来表示不同摆幅下的扭转常数．当然，在这种情况下，测量的周期也与摆动幅度相关，用Ti（θ）表示．则式（3）可转变为以下形式

这样，需要选择至少3个不同的角度，就可以很好地确定扭摆实验中的扭摆常数与摆角的关系了．以最简单的3组实验数据为例，即选择3个角度分别测量，有

所以，可以得到

所以，只需要选择3个不同角度，分别测量载物圆盘与加载塑料圆柱的情况，就能得到扭摆实验中的扭转常数与摆角的二阶关系．

在实验测量中，为了减小误差的出现，以及尽可能将实验简化，整个实验的摆角如果固定，这时为一常数，同时，所测量的周期为这样，摆幅对测量的影响就完全退化到表1中的测量公式可用的情况了．

若K随着θ变化的情况为在不同的初始条件下，且K在同一个过程中都变化，则动力学方程如下：

为了简便，我们只考虑一阶项K（θ）＝K0（1＋αθ），理论分析就变得较为困难，我们进行了数值计算．如图2所示，系统的周期基本不随着α变化．

综上所述，在小阻尼和大摆角的实验条件下，扭摆周期受扭转常数变化和摆角的影响较小，在基础实验阶段可以不用过多考虑．

图2　扭摆周期随着α的变化规律

参考文献

［1］ 张兆奎，缪连元，张立．大学物理实验［M］．2版．北京：高等教育出版社，2001．

［2］ 孙晶华．操纵物理仪器获取实验方法－物理实验教程［M］．北京：国防工业出版社，2009．

［3］ 谢嘉祥，费定曜．用扭摆法测定物体转动惯量［J］．工科物理．1998，18（6）：29－30．

［4］ 朱鹤年．新概念物理实验测量引论［M］．北京：高等教育出版社，2007．

［5］ 马亚林，陈建新．扭摆法测物体转动惯量的不确定度分析［J］．大学物理实验，2011，24（1）：93－96．

［6］ 邱菊，刘宇星，孔炎．用扭摆验证转动惯量平行轴定理的新方法［J］．大学物理．2006，25（9）：37－38，58．

［7］ 汤照，张宜虎．扭摆法测转动惯理的系统误差与实验改进［J］．物理与工程，2000，10（1）：33－36．

［8］ 黄德东，吴斌，刘建平．扭摆法测量导弹转动惯量的误差分析［J］．弹箭与制导学报，2009，29（5）：78－78．

［9］ 李德禄，林芮竹．马杰等．摆角对物体转动惯量测量误差的影响［J］．高校实验室工作研究，2013，（23）：32－33．

［10］ 李先胤，孙增灼，缪胜清，等．理论物理学中的近似方法［M］．北京师范大学出版集团．合肥：安徽大学出版社，2011．

DISCUSSION ON EXPERIMENTAL DATA PROCESSING AND
E
RROR IN ROTATIONAL INERTIA MEASUREMENT BY METHOD OF TORSION PENDULUM

Pan Xiaoqing Liu Chaofei Zhu Yun
（Science School，Jiangxi University of Science and Technology，Ganzhou，Jiangxi 341000）

AbstractThe application of torsion pendulum to measure the rotational inertia is an important project in college physics experiment．In most of current experimental instructor book，the relative error calculation is obtained by comparing the theoretical value of rotational inertia and the experimental data．This approach is questionable．In this paper，the formula of uncertainty of torsion pendulum is given to calculate the theoretical uncertainty and the experimental ones，respectively．Differences between the theorical results and experimental data are compared with the analysis of the possible reason．A new way to verify the parallel axis theorem is provided through graphing method of linear fitting．Meanwhile，a new method is promoted to obtain the relationship between the coefficient of torsional pendulum and the rotational angle amplitude based on the perturbation theory，which leads to the possibility of reduction of errors in experiments．At last，numerical calculations are given to discuss how the oscillating period is affected by the frictional resistance and the changing torsional coefficient with the pendulum angle at the same time．

Key wordstorsional pendulum；rotational inertia；uncertainty；data processing；error

作者简介：潘小青，女，教授，主要从事大学物理和物理实验教学，研究方向为计算物理．xqpan＠jxust．edu．cn

收稿日期：2015－08－06