关注指数迁移寻找思维突破口



关注指数迁移寻找思维突破口

◇江苏王文婷

经常有学生在自己看题目时毫无头绪,听完别人的讲解后恍然大悟,深深的纠结自己为何想不到,除了懊恼更多的是对数学渐渐的失去信心．波利亚在《怎样解题》一书中这样写道:“如果找不到已知数据与未知量之间的联系,你也许不得不考虑辅助题目．”下面就一道题的分析过程谈谈如何进行知识迁移,寻找思维突破口．

图1

学生拿到此题目的第一瞬间是茫然,不知切入点在哪里,找不到具体的数据,疑惑求解k取值范围该运用什么数学方法．如何拉近条件与结论间的关系呢?思维的突破口究竟在哪里?

师:看到此题目,你觉得是考查什么知识点?说出你的理由．

生众:解三角形中的正、余弦定理．图形是三角形,条件是边的关系.

师:在没有告知具体数据,却给了边与边的关系,我们一般如何处理?

生1:填空题,可以特殊化．不妨设AB=3,AD=k,AC=1.

由DC=2BD,设BD=1,CD=2.

师:大家都同意他的说法吗?

生2:BD与AC不一定相同,否则，△ABC是唯一固定,D点唯一固定,不是求k的取值范围,而是求具体k的值．

师:非常棒．DC=2BD,AB∶AD∶AC=3∶k∶1是2个独立的条件,如果我们特殊化，设AB=3,AD=k,AC=1,那DC=2BD,如何处理?

生2:设BD=x,CD=2x.

师:现在让我们结合图形共同梳理一下,AB=3,AD=k,AC=1,BD=x,CD=2x.

生2:我觉得k与x肯定是有关系的．

师:接下来我们如何寻找k与x的关系?

生众:知3边求3角,用余弦定理,再利用角．

师:同学们自己操作一下.

生2:在△ABD、△ADC中,

∠ADB+∠ADC=180°.

生3:在△ABD、△ABC中,利用公共角B.

师:为什么最后这样书写?

师:非常好,然后呢?

师:非常棒,研究函数勿忘定义域.

当解题过程呈现出来的时候,学生们恍然大悟．可是学生独立解决此问题为何成功率很低呢？思其原因不难发现部分学生是看见比例关系畏难不知所措,还有同学不明白k的变化究竟由谁驱动．如果能够体会此问题考查的知识点,寻找研究问题的方法,这是可以一一破解的．除此之外还可由方法迁移,思考是否曾做过类似题目．其实试卷中大部分试题都直接来源于教材或适度改编．我们平时要重视课本,重视基本方法,抓题目考查的数学本质．新题旧做,化陌生为熟悉． 其实课本必修5中有下面的例题.

图2

变式如图2所示，AM是△ABC边上的中线,求证：

分析题目中已经有的条件,在数学知识体系中寻找对应的考核点,这是数学解题思维为何产生的重要因素．如果学生具有完整的数学知识体系,能够把握整体脉络,就可以将某一题的解题方法迁移到与它同类型的题目中．上述题目的问题背景虽为三角形,但是向量也是解决几何图形问题的常用工具．

师:在例1中,点D是3分点,已知AB、AC,探究AD,是否感觉似曾相识?此图在何处出现过?

师:高考复习中面临的题目成千上万,寻求解题思路、解题方法是关键,选择简便的解题方法可以节约解题时间、降低错误率．因此平时我们需多联系所学知识、整合知识、思考方法、抓住题目背后的数学本质．

(如果说学生刚开始还需要老师的引导,帮助他们分析,实现学习正迁移,那么现在学生思维一旦被打开,将带给我们无限惊喜．)

师:说说你的想法．(微笑鼓励)

图3

利用相似,AE=2,DE=1/3,所以在△ADE中,AD小于2边之和且大于2边之差,同样可得k的取值范围为k∈(5/3,7/3).

(学生们都对这位同学投以钦佩的目光)

师:我们给这位同学鼓掌．其实我们在提升解题能力时,不可盲目做题,需要从解题中不断提炼出解题方法,加强知识间的联系、方法上的联系．只有这样才可以在千变万化的题海中灵活进行知识迁移,感受解题的乐趣与成功感.

《课程标准》指出数学教育的基本目标之一:注重提高学生的数学思维能力；提升学生思维能力、引导学生学会知识迁移.教师需引导学生学会思考:这个问题考查什么知识点？是否见过类似的题目?当时采用了什么数学方法?曾经的解题步骤是什么?此题可否类比研究?教师需帮助学生明白“怎么做”的同时,更重要的是“怎么想到这么做”．

(作者单位：江苏省南京实验学校(一中分校))