“2块板砖”妙断“任意”与“存在”难题



“2块板砖”妙断“任意”与“存在”难题

◇山东齐先昌

高中数学中“任意”与“存在”(“∀”与“∃”)，出现频率较高,它常常与“恒成立”“有解”“使……成立”等词语相呼应．但是由于自身较为抽象,如果碰上一个题目同时研究2个量词,情况就会变得愈发复杂．因而学生一般遇到此类问题非常头疼．当然此类问题的求解,在一些报刊上已经研究出不少的成果．但大多数文章,都是对“任意”与“存在”的题型特点以及解题规律进行归纳总结,缺乏更高的认识和普遍适用的较为方便可行的通法．笔者经过长时间的教学实践的检验,最终归纳为“板砖求解法”．这种方法可以轻松应对所有的“任意”与“存在”问题,不需要分门别类一一记忆,可以减轻学生的记忆负担．

1研究f(x1)与g(x2)的关系等于研究函数f(x)与g(x)的值域集合的关系

在处理“任意”与“存在”的问题中,常见到这样的条件“f(x1)≥g(x2)”,从等式两边不同自变量的取值x1、x2看,它和“f(x)≥g(x)”是有本质区别的,f(x1)与g(x2)只能表示2个函数在给定区间上各自所取的值,也就是该区间上的值域．那么,这里要研究f(x1)与g(x2)的关系,实际上最终都划归成2个函数f(x)与g(x)的值域的关系,值域实质就是集合,因此最终是研究2个值域的集合的元素之间的关系,即最大值(元素)、最小值(元素)、普通函数值(元素)．

在平时经常遇到“f(x1)=g(x2)”的情形,在教学实践中,理解此类问题最大的障碍是2个函数值域的关系,实质上就是集合间的关系判断．

-2a-2≤g(x2)≤2a-2．

其次,理解值域之间的关系,可以从条件“对于任意的x1∈R,总是有x2∈[-2,2],使得f(x1)=g(x2)成立”的理解入手．最初级的理解为“任意的x1∈R,在x2∈[-2,2]上总是有g(x2)与f(x1)相等”,再进一步地解释就是:“任意的f(x1),总是有g(x2)与其相等”.更进一步地说:“f(x1)的每一个值,都有一个g(x2)与之对应”.让数学语言更加通俗,更接近学生的理解水平．

2研究f(x1)与g(x2)所构成的集合就像“2块板砖”

从前面的案例可见,研究f(x1)、g(x2)的关系仅仅和函数值构成的集合有关系,要想研究f(x1)=g(x2)、f(x1)≥g(x2)、f(x1)≤g(x2)等,只需看集合中的元素的大小、多少,却与函数f(x)与g(x)的图象毫无关联．既然如此,我们再研究此类问题可以毫无顾忌地直接关注函数的值域．在实践中笔者采用“2块板砖(长方条)法”代表函数的值域,而板砖的高低长短代表2个集合的包含还是交集关系,这样可以把完全抽象的最值问题运用具体的图形来讲解演示,形象生动,便于操作,具有举一反三功效．

2.1板砖法研究f(x1)=g(x2)

“任意+存在”类型:上面案例就是“任意+存在”类型,“任意的x1∈R,在x2∈[-2,2]上总是有g(x2)与f(x1)相等”,用板砖法解释相当于“2块板砖”中,因为f(x1)的每一个值,g(x2)都能找到一个和前者对应相等,因此代表f(x1)的板砖短,代表g(x2)的板砖长,位置如图1所示．

“任意+任意”类型:上面的案例,若对于任意的x1∈R,任意x2∈[-2,2],都有f(x1)=g(x2)成立,用板砖法解释相当于“2块板砖”中,因为f(x1)的每一个值与g(x2)的每一个值,相互之间都能找到对应相等的值,因此代表f(x1)的板砖与代表g(x2)的板砖一样长,位置如图2所示．

图1　　　　　图2　　　　　图3　　　　　图4

“存在+存在”类型:上面的案例,若存在x1∈R,存在x2∈[-2,2],使得f(x1)=g(x2)成立,用板砖法解释相当于“2块板砖”中,因为f(x1)的至少存在一个值,g(x2)中也至少存在一个值对应相等,这种情况最能显示板砖的法的优势．我们可以让代表g(x2)的板砖上下移动．比如,板砖g(x2)从下向上移动至如图3时,板砖g(x2)的下沿不能高于板砖f(x1)的上沿,此时双方均至少存在一个相等的元素(函数值);板砖g(x2)从上向下移动至如图4时,板砖g(x2)的上沿不能低于板砖f(x1)的下沿,此时双方均至少存在一个相等的元素(函数值).

2.2板砖法研究f(x1)>g(x2)

“任意+存在”类型:上面案例,“任意的x1∈R,在x2∈[-2,2]上总是有f(x1)>g(x2)”相当于“总有一个g(x2)小于任意的f(x1)”．用板砖法解释相当于“2块板砖”中,代表g(x2)的板砖的底沿要低于代表f(x1)的板砖最低沿,位置如图5所示．

“任意+任意”类型:上面的案例,若对于任意的x1∈R,任意x2∈[-2,2],都有f(x1)>g(x2)成立,用板砖法解释相当于“2块板砖”中,代表f(x1)的板砖的下沿总比代表g(x2)的板砖上沿高,位置如图6所示．

图5　　　　　　图6　　　　　　图7

“存在+存在”类型:上面的案例,若存在x1∈R,存在x2∈[-2,2],使得f(x1)>g(x2)成立,如图7,用板砖法解释相当于“2块板砖”中,板砖g(x2)的下沿不高于板砖f(x1)的上沿．

总之,利用板砖的高低长短,对于上面还没有涉及到的“任意”“存在”问题类型,也可以同样的手段非常容易地解决．图形关系搞清楚之后,再把图形中反映的2块板砖的最高点的高低与最低点的高低,转义成最大值之间与最小值之间的大小关系,形象生动,可操作，简单易学．上述讨论,仅仅为了分别展示板砖对各种情形的适应能力,但是如果我们有了这2块板砖,在应用中根本不用记住上述各种情形,只需要根据题目条件,适当地移动板砖的上下位置来判断它们的值域的关系,真是妙不可言．

(作者单位：山东省济宁学院附属高中)