浅谈数学高考题中定义新符号运算类问题



浅谈数学高考题中定义新符号运算类问题

◇山东胡文文

定义新符号运算类问题是指题目中给出与高中数学教材里的内容和含义不同的符号及与之有关的运算规则,或给出教材中很少出现的符号及与之有关的运算规则,或给出教材中没有出现过的具有全新意义的符号及与之有关的运算规则,让答题者明白符号的内涵和运算法则,并应用所获得的规则解决问题．

1定义新符号运算类问题的主要特点

1) 创新性. 定义新符号运算类问题的内容围绕着高中生所学的知识设置,但不拘泥于高中生所学的知识形式和方法,问题的解答过程充分体现高中生思维的创新意识．

2) 灵活应用性. 定义新符号运算类问题的解决方法不局限于常规题型的解法,考查答题者灵活应用所学知识处理问题的能力．

3) 迁移性. 定义新符号运算类问题的解答需要答题者将所学基础知识和常规方法迁移到新的问题情境中，并进行正确的应用．

2定义新符号运算类问题的一般解法

①S有5个不同的值;

② 若a⊥b,则Smin与|a|无关;

③ 若a∥b,则Smin与|b|无关;

④ 若|b|>4|a|,则Smin>0;

⑤ 若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,则〈a,b〉=π/4．

为了更好地做到列举过程中的不重不漏,可采用如下方式:先写出2行上下对齐的2个a和3个b,然后保持一行不动,另一行按照一次错一位的对应,经过5次后即可循环一周,这样就可以把情况列举全面,具体过程如图1～5所示.

图1　　　　　图2　　　　　图3

图4　　　　　　　　图5

在上述图中,每个图的第1行为xi,第2行为yi,上下2行通过中间的黑线进行对应求数量积,然后再将求得的数量积相加即可得到一个S的值．特别注意,在写数量积的时候,先从短线的对应开始书写,再写长线的对应．每个小图中的S的值的运算过程与结果如下:

图1中,S=aa+aa+bb+bb+bb=2a2+3b2；

图2中,S=aa+ba+bb+bb+ab=a2+2ab+2b2；

图3中,S=ba+ba+bb+ab+ab=4ab+b2；

图4中,S=ba+ba+ab+ab+bb=4ab+b2；

图5中,S=ba+aa+ab+bb+bb=a2+2ab+2b2．

综上所述,S有3个不同的值,即S=2a2+3b2,S=a2+2ab+2b2及S=4ab+b2,故①错．而②、③、④、⑤的判断都与Smin有关,选择作差法对S的所有值进行大小比较,进而求得Smin．由

(2a2+3b2)-(a2+2ab+2b2)=(a-b)2≥0,

(a2+2ab+2b2)-(4ab+b2)=(a-b)2≥0,

可得Smin=4ab+b2．

对②,若a⊥b,则ab=0,所以Smin=b2=|b|2与|a|无关,故②正确.

对③,若a∥b,则存在实数λ,使得a=λb,所以Smin=4ab+b2=(4λ+1)|b|2与|b|有关,故③错误.

对④,Smin=4ab+b2=|b|(4|a|cos〈a,b〉+|b|),因为|b|>4|a|,所以

Smin>|b|(4|a|cos〈a,b〉+4|a|)=

4|a||b|(cos〈a,b〉+1)>0,

故④正确.

对⑤,若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,则

Smin=4ab+b2=8|a|2cos〈a,b〉+4|a|2=8|a|2,

综上可得出②、④正确．

解决新定义型问题的一般过程如下:

1) 认真阅读新定义或新信息的内容,标记关键词,找出新定义或新信息的典型特征;

2) 分析典型特征,弄清新定义或新信息的本质内容;

3) 将新定义或新信息的本质内容与已学过的知识进行联系;

4) 结合问题确定新定义或新信息使用的数学符号或图形语言;

5) 选取合适的方法求解问题;

6) 遇到求解不顺再补充完善对新定义或新信息的理解;

7) 求解彻底不能进行再从第一步重新开始,充分挖掘已知条件;

8) 结合新定义或新信息检查结果．

3定义新符号运算类问题的教学建议

为提高高中生解决定义新符号运算类问题的能力,主要是提高学生自学新符号运算的能力,结合教学实际,笔者提出以下几点教师需要注意的教学建议:

1) 引导学生熟练掌握常用的字母符号等表示的涵义;

2) 引导学生区别相同符号的不同含义;

3) 指导学生规范书写数学符号语言,防止符号混用;

4) 在分析问题时,指导学生辨识清楚题中符号对应的运算法则,按照给出的法则形式进行思考;

5) 在讲解问题时,给学生提供有针对性的变式训练,主要是涉及相同符号、但运算法则和知识背景不同的题目,防止学生形成思维定势．

(作者单位：山东省淄博第七中学)