空间中的“垂直”关系判定



空间中的“垂直”关系判定

■张卿

垂直是一种特殊的空间关系，空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直，最终达到目的，其转化关系可以用图1表示。

图1

在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决。

一、直线与平面垂直

图2

例1如图2，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点。证明：

(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE。

证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD。

因为AC⊥CD，且PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC。

而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE。

(2)由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA。

因为E是PC的中点，所以AE⊥PC。

由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD。

而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD。

因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB。

又因为AB⊥AD，且PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD。

而PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD。

又因为AB∩AE=A，所以PD⊥平面ABE。

规律方法:(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⟹b⊥α)；④面面平行的性质(a⊥α，α∥β⟹a⊥β)；⑤面面垂直的性质。

(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质。因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想。

二、平面与平面垂直

图3

例2如图3，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E、F、G、M、N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点。

(1)CE∥平面PAD；

(2)平面EFG⊥平面EMN。

图4

CD。又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形。因此CF∥AD。又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CF∥平面PAD。因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA。又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD。因为CF∩EF=F，故平面CEF∥平面PAD。又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD。

(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA。又AB⊥PA，所以AB⊥EF。同理可证AB⊥FG。又EF∩FG=F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，因此AB⊥平面EFG。又M、N分别为PD、PC的中点，所以MN∥CD。又AB∥CD，所以MN∥AB。因此MN⊥平面EFG。又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN。

规律方法:(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⟹α⊥β)。

(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。

三、易错防范

(1)在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意。口诀：线不在多，重在相交。

(2)面面垂直的性质定理在立体几何中是一个极为关键的定理，这个定理的主要作用是作一个平面的垂线，在一些垂直关系的证明中，很多情况都要借助这个定理作出平面的垂线。注意定理使用的条件，在推理论证时要把定理所需要的条件列举完整，同时要注意推理论证的层次性，确定先证明什么，后证明什么。

作者单位：江苏省宝应县安宜高级中学