一维Allen-Cahn方程有限差分方法的离散最大化原则和能量稳定性研究

张佳琪，侯天亮

(北华大学数学与统计学院，吉林 吉林　132013)



一维Allen-Cahn方程有限差分方法的离散最大化原则和能量稳定性研究

张佳琪，侯天亮

(北华大学数学与统计学院，吉林 吉林132013)

摘要：研究了一维Allen-Cahn方程有限差分方法逼近.空间方向采用中心有限差分格式，而时间方向分别采用带稳定项的一阶线性隐显格式、二阶非线性校正Crank-Nicolson格式和二阶线性Leap-Frog格式.证明了数值格式的离散最大化原则和能量稳定性.

关键词：Allen-Cahn方程；有限差分方法；最大化原则；能量稳定性

【引用格式】张佳琪，侯天亮.一维Allen-Cahn方程有限差分方法的离散最大化原则和能量稳定性研究[J].北华大学学报(自然科学版)，2016，17(2)：159-164.

1引言

相场模型是由偏微分方程描述的数学模型，具有非常丰富的数学内涵，因其相当复杂，迄今为止我们还没有能够完全了解它们.相场的数值模拟一直是国内外研究的一个热门而重要的领域，并推动微分方程数值解理论乃至其他数学理论的深入发展，具有重要的理论意义与实际意义.

1979年，为了描述晶体中反相位边界运动，Allen和Cahn[1]引入了Allen-Cahn方程.由于此类相场模型没有真解，所以采用不同的数值方法来进行模拟就显得尤为重要.目前关于这些相场模型的数值逼近已有很多工作，包括有限差分方法、有限元方法和谱方法等.文献[2]中，作者针对两种流体的Allen-Cahn 型相场模型提出了一种自适应移动网格方法，数值实验表明移动网格算法在提高分辨率和计算效率方面非常有效；徐玲玲[3]主要考虑一维和二维Allen-Cahn方程Neumann条件边值问题，提出半隐的全离散耗散有限差分格式，并且将其推广到一维 Cahn-Hilliard方程；文献[4]则考虑Allen-Cahn方程的局部间断Galerkin有限元方法，数值试验验证了此方法的有效性；Feng和Prohl[5]提出了Allen-Cahn方程的半离散有限元格式和一阶全离散有限元格式，并获得先验误差估计.据我们所知，针对Allen-Cahn方程的数值逼近，没有严格的数值解的最大模稳定性分析.

众所周知，Allen-Cahn方程满足最大化原则和能量稳定性(参见文献[6])，那么这些性质对数值逼近解是否成立呢? 本文利用有限差分方法求解一维Allen-Cahn方程，给出3种时间离散格式，主要研究两方面内容：一方面是离散最大化原则：如果问题初值被1控制，那么数值解也可以被1控制；另一方面是离散能量稳定性：定义的离散能量递减.

2有限差分逼近

我们研究下面一维Allen-Cahn方程的数值逼近

(1)

u(x，0)=u0(x)， x∈Ι，

(2)

(3)

这里I为实数空间中的有界闭区间，u表示二元合金中一个金属部件的浓度，参数ε>0表示接口宽度，非线性项f(u)=u-u3.

首先，空间导数采用二阶中心差分格式离散，令Dh表示相应离散矩阵，表示为

这里N表示空间离散后区间内部节点个数，h表示空间步长.

在空间离散后，接着考虑下面3个时间离散格式：

(ⅰ)稳定的一阶线性隐显格式

(4)

(ⅱ)稳定的二阶非线性校正Crank-Nicolson格式

(5)

这里

格式(5)等价于

(6)

其中

(ⅲ)稳定的二阶线性Leap-Frog格式

(7)

这里n≥1，β表示稳定项系数.对于时间第一层上的数值解，应用格式(6)进行求解.

3离散最大化原则

由格式(4)知

(8)

注意到上式右边项的元素具有下面的函数形式

容易看到

综上可知

由式(6)整理得

(9)

接下来，类似定理1中的证明，可以推出

由以上估计可推出

由以上两个式子可以推出

由式(7)整理得

(10)

(11)

(12)

结合式(11)和(12)，我们有

证毕.

4离散能量稳定性

我们定义如下的离散能量：

下面，我们将证明格式(4)和(5)满足离散能量稳定性.

定理4假设定理1中的条件成立，格式(4)求得的数值解可以保证离散能量递减，即

E(Un+1)≤E(Un)，n=0，1，….

(13)

证明：将式(4)两边左乘(Un+1-Un)T，得

(14)

把两个时间层上的离散能量相减得

(15)

对任意的a，b∈[-1，1]，下面不等式成立：

由于矩阵Dh是对称负定的，容易看到

因此，由上面两个不等式推出

定理5对任意的时间步长τ>0，格式(5)求得的数值解可以保证离散能量递减，即

E(Un+1)≤E(Un)，n=0，1，….

证明：在等式(5)两边左乘(Un+1-Un)T，得

因为矩阵Dh是对称的，我们有

(Un+1-Un)TDh(Un+1+Un)=(Un+1)TDhUn+1-(Un)TDhUn.

由上面两个等式以及式(15)可推出

证毕.

参考文献：

[1] S M Allen，J W Cahn.A microscopic theory for antiphase boundary motion and its application to antiphase domain coarsening[J].Acta Metall，1979，27：1085-1095.

[2] 成彬，刘波，王冬艳，等.Allen-Cahn型相场模型的移动网格方法[J].河北科技大学学报，2011，32(2)：110-114.

[3] 徐玲玲.Allen-Cahn方程Neumann边值问题的的二阶耗散差分格式[D].上海：上海交通大学，2010.

[4] 于春丽.Allen-Cahn方程的局部间断Galerkin有限元方法[D].济南：山东大学，2009.

[5] X B Feng，A Prohl.Numerical analysis of the Allen-Cahn equation and approximation for mean curvature[J].Numer Math，2003，27(99)：33-65.

[6] L C Evans，H M Soner，P E Souganidis.Phase transitions and generalized motion by mean curvature[J].Commun Pure Appl Math，1992，45：1097-1123.

【责任编辑：伍林】

Discrete Maximum Principle and Energy Stability of Finite Difference Methods for One-dimensional Allen-Cahn Equations

Zhang Jiaqi，Hou Tianliang

(SchoolofMathematicsandStatistics，BeihuaUniversity，Jilin132013，China)

Abstract：The finite difference approximation for one-dimensional Allen-Cahn equation is studied.Central finite difference scheme is used for spatial discretization，stabilized one-order linear implicit-explicit scheme，second-order nonlinear modified Crank-Nicolson scheme and second-order linear Leap-Frog scheme are used for temporal discretization respectively.Discrete maximum principle and energy stability of these schemes are established.

Key words：Allen-Cahn equation；finite difference method；maximum principle；energy stability

中图分类号：O241.5

文献标志码：A

作者简介：张佳琪(1992-)，女，硕士研究生，主要从事偏微分方程数值解法研究，E-mail：zjqss1992@163.com；通信作者：侯天亮(1985-)，男，博士，讲师，硕士生导师，主要从事偏微分方程数值解法研究，E-mail：htlchb@163.com.

基金项目：国家自然科学基金项目(11526036).

收稿日期：2015-12-18

文章编号：1009-4822(2016)02-0159-06

DOI：10.11713/j.issn.1009-4822.2016.02.004