基于改进傅里叶级数方法的旋转功能梯度圆柱壳振动特性分析

李文达，杜敬涛，杨铁军，刘志刚

(哈尔滨工程大学 动力与能源工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001)



基于改进傅里叶级数方法的旋转功能梯度圆柱壳振动特性分析

李文达，杜敬涛，杨铁军，刘志刚

(哈尔滨工程大学 动力与能源工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

摘要：通过在功能梯度圆柱壳结构两端引入轴向、环向、径向和径向旋转四组约束弹簧刚度，统一考虑了的弹性约束边界条件，将功能梯度材料特性表示成沿壳体厚度方向的连续性变化，根据Love薄壳理论，采用改进傅里叶级数方法和Rayleigh-Ritz法相结合，推导得到旋转功能梯度圆柱壳自由振动的频率计算方程。通过计算分析，模拟了任意边界条件，研究了弹性边界约束对旋转功能梯度圆柱壳结构自由振动频率的影响。结果表明：边界约束刚度对于功能梯度圆柱壳结构固有频率敏感影响区域不同，径向弹性约束对频率影响较明显，环向弹性约束其次，轴向弹性约束对频率影响较小，而径向旋转弹性约束对频率几乎无影响。

关键词：旋转功能梯度圆柱壳；弹性边界约束；傅里叶级数；自由振动；频率参数

功能梯度材料是一种组分随空间连续变化且具有特定功能的新型复合材料，具有耐高温、抗疲劳、强度高、韧性好等优点。高性能功能梯度圆柱壳结构在航空发动机、航天飞机、火箭及化工设备等具有广泛应用前景，正日益取代单一材料的普通圆柱壳结构，成为该结构形式新的发展趋势[1]。

Loy等[2]利用Love壳体理论的应变-位移几何描述分析了功能梯度圆柱壳的自由振动特性，计算了两端简支功能梯度圆柱壳的频率，讨论了材料体积分数和组分材料配置对频率的影响。杜长城等[3]利用Donnell壳体理论，推导了功能梯度材料薄壁圆柱壳线性振动的简化控制方程，分析了自由振动特性。Haddadpour[4]和Sheng[5]等研究了热环境中功能梯度圆柱壳的自由振动。项松等[6]计算了简支各向同性和功能梯度圆柱壳的频率，研究了幂指数、x和θ方向的波数、厚径比对简支旋转功能梯度圆柱壳频率的影响。项爽[7]分析了各种参数对旋转功能梯度圆柱壳的振动特性的影响。

由文献[1-9]可知，前人对旋转功能梯度圆柱壳结构的研究集中考虑了经典边界条件的组合。事实上，边界条件作为影响结构振动特性的重要因素，有必要探究弹性边界约束对旋转功能梯度圆柱壳结构自由振动特性的影响。

本文采用一种改进傅里叶级数方法建立了弹性约束边界条件下旋转功能梯度圆柱壳结构振动分析模型。基于Love壳体理论，采用一种改进傅里叶级数方法[10-13]和Rayleigh-Ritz法对旋转功能梯度圆柱壳自由振动进行建模，推导出频率计算方程。通过算例，分析了弹性边界约束对振动固有特性的影响。

1理论建模

图1所示为弹性边界约束下旋转功能梯度圆柱壳结构，R、H、L和Ω为圆柱壳中曲面半径、厚度、长度和转速，在其中曲面上建立参考柱坐标系(x,θ,z)，u、v、w分别为圆柱壳中曲面沿x、θ、z方向的位移。k1、k2、k3和k4分别为施加于圆柱壳左端x、θ、z方向的线性约束弹簧和z方向的旋转约束弹簧；k5、k6、k7和k8分别为施加于圆柱壳右端x、θ、z方向的线性约束弹簧和z方向的旋转约束弹簧。通过将弹簧刚度系数设置为零或无穷大，可以得到任意经典边界条件，简支、自由或固支，如表1所示；将弹簧刚度设置为不同的数值，则可模拟任意弹性约束。

图1　旋转功能梯度圆柱壳结构及其边界约束Fig. 1　Rotating FGM cylindrical shell structure with elastically restrained edges

自由边界(F)简支边界(S)固支边界(C)k1=k4=0k1=k4=0k1=k4=1012k2=k3=0k2=k3=1012k2=k3=1012

图1截面显示圆柱壳材料为功能梯度材料，其物理性能参数表示为沿壳体厚度呈梯度变化形式：

(1)

式中：Ei和Eo分别为内、外表面材料杨氏模量，μi和μo分别为内、外表面泊松比，ρi和ρo分别为内、外表面质量密度,N为非负实数幂指数。可以发现：当z=-H/2时，E=Ei，μ=μi，ρ=ρi，圆柱壳材料为单一外表面材料；当z=H/2时，E=Eo，μ=μo，ρ=ρo，圆柱壳材料为单一内表面材料。

1.1能量原理描述

旋转功能梯度圆柱壳动能表达式为

(2)

功能梯度圆柱壳结构自由振动的应变能描述为

(3)

式中：σx、σθ、τxθ和εx、εθ、εxθ分别表示点(x,θ,z)处的应力分量和应变分量。

根据Love薄壳理论，位移-应变关系为

(4)

(5)

(6)

平面应力-应变关系表示为

(7)

其中

(8)

由旋转引起的旋转功能梯度圆柱壳的初应变能表达式为

(9)

储存于边界约束弹簧中的弹性势能表达式为

(10)

将下式：

(11)

(12)

代入动能表达式(2)、应变能表达式(3)和初应变能表达式(9)中，即可消除应变能、初应变能和动能表达式中关于径向坐标z的积分。式中：i,j=1,2,6。

1.2位移场函数表达

将旋转功能梯度圆柱壳结构的振动位移表示成环向模态和轴向模态相乘的形式：

(13)

其中：Un、Vn、Wn以如下改进傅里叶级数形式来构造：

(14)

1.3系统特征方程推导

将位移表达式(13)代入1.1节得到的应变能、初应变能和动能表达式以及弹性势能表达式(2)、(3)、(9)、(10)，并对含有θ的函数在[0,2π]进行积分，最终得到只含关于轴向坐标x的积分的能量表达式。根据能量守恒：

(15)

将能量表达式代入式(15)，应用Rayleigh-Ritz法进行推导、变换，可得到关于傅里叶系数的系统特征方程：

(16)

求解旋转功能梯度圆柱壳结构系统特征方程(16)，可得到自由振动的固有频率。设置不同的边界弹簧刚度，可模拟任意弹性边界，进而可对弹性边界约束对固有特性的影响进行分析。需要指出的是，圆柱壳旋转产生的科氏力使得频率随转速的变化而发生分岔，产生前行波和后行波：前行波传播方向与旋转方向一致，求解得到的固有频率值ff小于0；后行波传播方向与旋转方向相反，求解得到的固有频率值fb大于0。

2数值结果与分析

除特别说明外，以下计算分析中研究外表面为不锈钢、内表面为镍的功能梯度圆柱壳结构。功能梯度材料参数沿壳体厚度呈指数变化，幂指数用N表示，圆柱壳轴向波数用m表示，所有计算中N=1， m=1。温度为300K时，不同材料物理参数如表2。

表2　材料物理参数

2.1方法正确性验证

表3给出了两端简支(S-S)条件下某种功能梯度圆柱壳的无量纲频率参数，并与文献[10-11]中的结果进行了对比。圆柱壳长径比L/R=20，厚径比H/R=0.01，内外表面材料一致：杨氏模量E=1.878 9×1011Pa，泊松比μ=0.308 9，质量密度ρ=6 93 3 kg/m3。结果用无量纲频率参数ω'表示为

(17)

表3静止功能梯度圆柱壳无量纲频率参数ω'对比(L/R=20,H/R=0.01,Ω=0)

Table 3Comparison of non-dimensional frequency parameterω' for a FGM cylindrical shell (L/R=20,H/R=0.01,Ω=0)

n文献[9]文献[8]本文方法10.0160520.0159490.01605220.0093690.0090810.00935530.0221020.0219520.02208140.0420930.0420010.04207150.0680070.0679390.06798460.0997290.0996750.09970570.1372380.1371920.13721080.1805270.1804860.18050090.2295930.2295560.229570100.2844350.2844000.284410

观察表格可知，本文所用方法得到的结果与文献[8-9]中的结果均吻合良好，故用本文方法求解旋转功能梯度圆柱壳结构自由振动固有频率的正确性得到了验证，后续分析结果是可信的。由于本文方法在对振动位移的表达中采用了一种改进的傅里叶级数进行展开，因此需要在实际计算中将展开项数有限截断，以将方程(18)的维数化为有限维。计算表明，当截断数为10时，结果已经足够精确。

2.2单个弹性约束和转速对旋转功能梯度圆柱壳自由振动特性影响

现有文献对功能梯度圆柱壳结构的研究大多只针对固支-固支(C-C)、固支-简支(C-S)、简支-简支(S-S)等经典边界条件，而在实际应用中圆柱壳所处的边界条件更为复杂，更多情况下是任意弹性边界。因而有必要进行弹性边界约束刚度对旋转功能梯度圆柱壳自由振动特性的影响分析。本节中约束弹簧刚度均以无量纲刚度的形式表示：

(18)

为了探讨弹性边界约束刚度和转速同时变化对功能梯度圆柱壳的影响，将长径比L/R=10，厚径比H/R=0.002的圆柱壳左右两端设置相同的弹性边界约束，依次设置为仅有轴向弹簧k'1、环向弹簧k'2、径向弹簧k'3或径向旋转弹簧k'4的情况，无量纲弹簧刚度从10-4变化到104，转速由0变化到120 rad/s。观察n=2时，功能梯度圆柱壳前、后行波频率ff和fb的变化情况。

观察图2可知，4种不同弹性边界约束情况下，随着转速Ω的增大，均出现旋转功能梯度圆柱壳结构自由振动的前行波频率ff逐渐减小、后行波频率fb逐渐增大且后行波频率变化更大的现象；随着弹性约束刚度的增大，前后行波频率均呈增大趋势。而边界设置为仅有轴向弹性约束k'1、环向弹性约束k'2或径向弹性约束k'3时，弹性约束刚度的增大对前后行波频率的影响明显，当边界设置为径向旋转约束k'4时，刚度的变化对频率影响很小，几乎可以忽略。边界为轴向约束弹簧k'1时，刚度由10-2变化到101过程中，前后行波频率快速增大；边界为环向弹性约束k'2时，刚度在10-3～100区间变化引起的频率变化较大；边界为径向弹性约束k'3时，频率在刚度从10-4变化到10-1时有大幅增长。因此，旋转功能梯度圆柱壳结构自由振动行波频率对不同的弹性约束弹簧的敏感范围不同。而对比四种边界设置的频率变化量可知，环向弹性约束k2和径向弹性约束k3对频率的影响最大，轴向弹性约束k1的影响较小，径向旋转约束k4对频率几乎无影响。

2.3双弹性约束对旋转功能梯度圆柱壳自由振动特性影响

上述分析只针对单个弹性约束的刚度变化，对于双弹性约束同时变化的情况，分析了轴向约束弹簧k1和径向旋转约束弹簧k4同时变化或者环向约束弹簧k2和径向约束弹簧k3同时变化对旋转功能梯度圆柱壳结构自由振动频率的影响，如图3。

(a)k'1和Ω对前行波频率ff影响　　　　　　　　　　　(b)k'1和Ω对后行波频率fb影响

(c)k'2和Ω对前行波频率ff影响　　　　　　　　　　　(d)k'2和Ω对后行波频率fb影响

(e)k3'和Ω对前行波频率ff影响　　　　　　　　　　　(f)k3'和Ω对后行波频率fb影响

(g)k'4和Ω对前行波频率ff影响　　　　　　　　　　　(h) k'4和Ω对后行波频率fb影响图2　边界约束弹簧刚度和转速对旋转功能梯度圆柱壳自由振动行波频率的影响Fig. 2　Variations of travelling-mode frequencywith respect to non-dimensional spring stiffness and rotating speed

图3(a)和图3(c)为环向约束刚度k'2和径向约束刚度k'3均为1012时，轴向弹性约束刚度k'1和径向旋转弹性约束刚度k'4分别从10-4变化到103、从10-4变化到102对旋转功能梯度圆柱壳自由振动前后行波频率的影响。当k'1=k'4=10-4时，近似为简支边界(S-S)；当k'1=k'4=102时，近似为固支边界(C-C)。图中，当径向旋转约束刚度k'4逐渐增大时，前后行波频率只在开始时略有增大，增幅很小，而随着轴向弹性约束刚度k'1逐渐增大，前后行波频率均有大幅增加。故轴向弹性约束k1对旋转功能梯度圆柱壳结构自由振动频率的影响远大于径向旋转弹性约束k4，且固支边界(C-C)行波频率大于简支边界(S-S)。

图3(b)和图3(d)中，圆柱壳左右两端边界设置相同，轴向弹性约束刚度k'1和径向旋转弹性约束刚度k'4均设置为0，环向弹性约束刚度k'2和径向弹性约束刚度k'3分别从10-4变化到102。当k'2=k3'=10-4时，近似为自由边界(F-F)；当k'2=k3'=102时，近似为简支边界(S-S)。由图可知，当弹性约束刚度k'2、k3'从10-4变化到10-1时，前后行波频率均快速增大，且随着k'3的增大而增大的幅度大于随着k'2的增大而增大的幅度。即环向弹性约束k2和径向弹性约束k3同时作用时，径向弹性约束k3对旋转功能梯度圆柱壳结构自由振动影响更大，且简支边界(S-S)行波频率大于自由边界(F-F)。

(a)k'2和k3'对前行波频率ff影响　　　　　　　　　　　(b)k'1和k'4对前行波频率ff影响

(c)k'2和k3'对后行波频率fb影响　　　　　　　　　　　(d)k'1和k4对后行波频率fb影响图3　2种边界约束弹簧对旋转功能梯度圆柱壳自由振动行波频率的影响Fig. 3　Variations of travelling-mode frequencywith respect to two kinds of non-dimensional spring stiffness

3结论

本文应用一种改进傅里叶级数建立了旋转功能梯度圆柱壳结构自由振动特性预报模型，通过在圆柱壳结构两端引入4种约束弹簧统一模拟边界条件。旋转功能梯度圆柱壳结构3个方向位移场采用改进傅里叶级数形式构造，辅助边界特性函数用于改善级数解的收敛性与精确性。基于Love壳体理论，建立了旋转功能梯度圆柱壳结构自由振动行波频率系统特征方程，运用MATLAB语言编程仿真，算例中本文结果与现有文献结果吻合良好，充分验证了本文模型的正确性与可靠性。

计算分析了单一弹性约束和转速同时变化对功能梯度圆柱壳结构自由振动频率的影响规律，发现：

1)随着转速的增大前行波频率逐渐减小而后行波频率逐渐增大，随着各种弹性约束的增大前后行波频率均有所增大，行波频率对不同的弹性约束弹簧的敏感区域不同。

2)环向弹性约束和径向弹性约束对频率影响较明显，轴向弹性约束对频率影响较小，而径向旋转弹性约束对频率几乎无影响。

3)讨论了双弹性约束同时变化对旋转功能梯度圆柱壳结构自由振动频率的影响，发现固支边界下的频率最大，简支边界其次，自由边界最小，径向弹性约束对频率的影响程度大于环向弹性约束。

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Vibration characteristics analysis of the rotating functionally graded cylindrical shell structure using an improved Fourier series method

LI Wenda, DU Jingtao, YANG Tiejun, LIU Zhigang

(College of Power and Energy Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract：In this paper we uniformly consider the elastic constraint boundary conditions on the two ends of a functionally graded cylindrical shell structure by introducing four types of spring stiffness restraints, including axial, circumferential, radial, and radial rotation. Based on the Love shell theory, where the functionally graded material properties are expressed as continuously changing along the shell thickness direction, we employ an improved Fourier series method and the Rayleigh-Ritz procedure to model the rotating functionally graded cylindrical shell in order to conduct a free vibration analysis. We then derive the system characteristics equation. Using numerical calculation and analysis, we simulate the arbitrary boundary conditions and examine the effect of the elastic boundary constraints on the natural frequencies of the rotating functionally graded cylindrical shell structure with respect to free vibration. The results show that the sensitivity range of the boundary constraint stiffness is diverse in the inherent frequency of the functionally graded cylindrical shell structure. The influence of the radial elastic restraint on frequency is obvious, followed by that of the circumferential elastic constraint. The axial elastic constraint has less effect, while the radial rotating elastic constraint has almost no effect.

Keywords：rotating functionally graded cylindrical shell; elastic boundary restraints; Fourier series; free vibration; frequency parameter

中图分类号：O327

文献标志码：A

文章编号：1006-7043(2016)03-388-06

doi:10.11990/jheu.201412084

作者简介：李文达(1991-)，女，硕士研究生；杜敬涛(1981-)，男，副教授，博士生导师.通信作者：杜敬涛，E-mail: dujingtao@hrbeu.edu.cn.

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11202056)；中央高校基本科研业务费专项基金资助项目(HEUCFQ20150305).

收稿日期：2014-12-31.

网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20151224.1405.012.html

网络出版日期：2015-12-24.