APOS理论指导下的高中数学概念教学实践研究

沈敏鉴

摘 要：学习应该是学生自主建构知识的过程，APOS理论指导下的高中数学概念教学强调学习过程中数学活动的重要性，倡导教师构建直观的概念学习背景，引导学生在实践、思维运算和反思抽象等一系列数学学习活动中实现数学概念形式定义和本质理解的统一，丰富学生构建概念的过程，提升内化知识的效率.

关键词：APOS理论；自主建构；高中数学概念

概念是数学知识大厦的主框架，那么我们该如何有效实施高中数学概念教学呢？从数学教学观和新课程教学理念来看，我们的概念教学必须摆正学生的学习主体性地位，将数学概念教学视为学生对数学概念的本质以及体验建立概念过程的一个探索历程，即充分认识到数学教学是“数学认知结构建构的教学”. 那么，如何帮助学生建构知识呢？笔者发现APOS理论非常适合我们当下的高中数学课堂教学实践，现就该话题结合函数教学谈几点笔者的看法，望能有助于课堂教学实践.

APOS：一种基于建构主义学习理论的教学模式

何为APOS？APOS教学理论起源于对皮亚杰的数学学习的“自反抽象”理论进行拓展的一种尝试. APOS教学模式分为四个阶段：（1）A—action（操作或活动）；（2）P—process（过程）；（3）O—object（对象）；（4）S—scheme（图式）.

笔者对该教学理论的解读为，前三个阶段是学生学习的过程，最后图式是学生构架的学习结果. 只要我们教师能够科学地设置数学问题情境和直观地呈现数学概念所在的知识背景，学生经过思维的操作、合作探究过程后，必然会对“对象”有较为深刻的认识，这三个阶段都应该是学生在教师的引导下主动建构和反思的过程，由此为基础，继而完成图式，理顺所学概念在学科知识体系中的位置，同时应用知识顺利地解决问题.

APOS理论指导下的“函数”概念教学

结合APOS理论，下面以函数概念教学为例，就如何有效实施操作、过程、对象和图式4个阶段进行分析.

第一阶段：action阶段

action阶段即操作（或活动）阶段，即将数学教学看成是“数学活动”的教学，在教学过程中，学生的操作运算行为是其数学认知发展进程中的 基础性行为.课堂上，学生用数学家的思维投入数学问题探究中来，通过活动得到的实际经验来建构知识，当然，数学的实践性与理化学科的观察性实验有所区别，数学活动和操作更多的是学生的实际操作演算，或是思维性实验，即动脑思考提取原有认知，通过操作、活动学生形成反省、被反省的基础，对新的问题进行反省抽象推动概念学习本质化、直观化. 从心理学角度看操作，学生对于感知到的对象，通过外部刺激对对象再进行转换的过程. 如果缺失了学生的推演和思维性活动，数学学习是缺失思想方法的，那么，学生习得的“概念”也必然是无本之木.

我们在函数概念教学过程中，需要进行一系列的活动（或操作）.

活动1：给学生提供有现实背景的问题，引导学生从中建立一种函数关系y=2x；

活动2：要求学生计算出在一个给定点的函数值，如：1→2，2→4，3→6等等.

上述2个过程即action，通过上述活动，有助于学生真正地理解函数的意义.

第二阶段：procoss阶段

procoss阶段是在学生不断重复“活动或操作”的基础上不断反思，活动过程和成果不断地刺激学生的大脑，继而完成自身数学知识系统内部的心理建构，即完成“过程”体验. 过程阶段使得第一阶段的操作有了自动呈现的机会和形式，与第一阶段相比，该阶段不再需要外因的不断刺激.

在“函数”这个概念的学习过程中，一旦学生认识到“所谓函数只不过是给定一个不同的数就会得出相应的不同值，而不必再进行具体的运算”，其实此时他就已经完成从action阶段向procoss阶段的跨越，即完成过程模式的建构.

例如，学生把上文提到的2个活动可以综合成函数过程，得到一般地有x→2x，由此不需要外部刺激，学生可以完成其他各种函数一般对应过程的概括，即x→f（x）.

这个阶段，“概念”学习变得有操作性、相对直观，而且思维过程容易迁移到数学学习的其他章节，仿效学习，提高自身的提取信息、分析信息和归纳总结的能力.

第三阶段：object阶段

该阶段是与前面两个阶段构成一个整体的，通过前面两个阶段的探索，学生已经对“对象”有了一定的认识，并能够将其作为一个具体的“实体”参与到其他数学问题的研究、转化或其他概念操作过程之中. 经过该阶段的学习，学生对“概念”有了深刻的认识，不仅能够具体而明确地指出“概念”所具有的各种性质，同时将概念用于实施特定的数学演算之中.

例如“函数”的概念，一旦学生经过了object阶段形成一个“实体”，那么，学生的认识会自然有所提升，看到函数“可复合”、“可微分、积分”，而且可以进一步通过这些数学演算、操作和过程，逐步地形成更高一级概念.

笔者认为作为“object阶段”是学生学习过程中的转折点，作为“对象”的概念，学生的既定性知识目标基本上达成，同时这个概念又作为与更高一级层次之间相联系的枢纽，构建新概念的最近发展区，推动学生的认知有序向前推进.

第四阶段：scheme阶段

scheme阶段：图式阶段，也常被称为“概型阶段”，是学生经历了前面3个学习阶段，将“对象”与自己头脑中原有的与此相关联的图式（概念、知识）进行整合形成新的图式的过程. 很显然，在该阶段，学生的思维和对概念的认识状况超出了对“概念”本身的认识，上升到对学科更大的知识框架和更高的思维层次的认识. 该阶段学生对“概念”进行更高层次的加工和表征.

例如，学生通过上述3个阶段，对“函数概念”有了较为全面的理解，此时会将其与头脑中原有的知识相综合，形成一种综合的心理图式寄存在脑海之中，这种心理图式是什么呢？笔者认为不仅仅是函数的概念，还应该包含完整的定义、具体的函数实例、函数抽象和定义的过程、函数概念与其他概念（如方程、曲线、图象等）之间的联系与区别等等，如此一来，“函数”这个概念才能在数学知识体系中有血、有肉、有骨头，占有其特定的位置.

那么，该阶段是不是孤立或突然出现的呢？笔者认为该阶段与前面所讲的“object阶段”密不可分，数学对象、图式的形成是一种渐进的建构过程.

在概念教学中，一个数学概念（如本文的例子“函数”）由第二个阶段“过程”到第三个阶段“对象”的建立，有时是既困难又漫长的，甚至会出现思维上的障碍或错误，需要学生经历多次的尝试和反复“操作”，才能完成，这个过程是循序渐进、螺旋上升的，缺失了这一过程学生对概念的理解便无从叹气，同时“对象”的建立，如何表征呢？笔者认为，在学生建构概念、描述对象的过程中，教师的主导性地位是不可缺失的，我们要关注学生对“对象”的表征，要提升学生注意概念文字表征的简练度、符号表征的准确性和图象表征的直观性，即学生在头脑中建立起多维度的，具有直观结构的数学概念的形象. 笔者在数学教学中也发现，数学学习中图式的形成往往并非是一种自觉的行为，而是一个不知不觉的渐进的建构过程. 在整个环节中，相应的操作为图式的形成提供了必要的基础. 经过提炼和拓展，图式的形成要经历三个阶段：单个图式、多个图式、图式的迁移. 单个图式阶段的特点就是只是注意离散的操作、过程和对象，而把具有类似性质的其他知识点隔离开来：多个图式阶段就是注意了各个图式中蕴含的知识点之间的关系和衔接，这时个体就能把这些知识点组成一个整体；然后只有到了迁移阶段，个体才能彻底搞清楚在上一个阶段中提到的相关知识点之间的相互关系，并建构出这些知识点之间的内部结构，形成一个大的图式.