应用“力矩平衡”速找“等效最低点”

朱耀东

【摘要】 等效法是物理学中常用的一种思维方法，“轻杆连接体或带电体在竖直面内绕固定轴转动” 这类问题是等效法的典型应用，解题的关键是准确地找到等效最低点。应用初中学过的“转动平衡”可以帮助我们快速找到等效最低点，从而使解题过程变得更加简洁明快。

【关键词】 力矩平衡 等效最低点

【中图分类号】 G633.7 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2016）03-035-01

在高中物理学习中，“物体在竖直面内绕固定轴转动”是一类比较重要的题型，而解决这一类题目的关键是准确地找到最低点或等效最低点。我们通常应用“力的合成”或者“能量守恒”来找到它们，有没有速解办法呢？既然物体处在最低点，其势能必然最小，其稳度必然达到最大，物体刚好处于转动平衡状态，作用在物体上的合力矩必然为零，因此我们可以应用“力矩平衡” 速找“等效最低点”。

一、“力矩平衡”、 “等效最低点”及相关概念

在初中物理中，我们学过力矩、转动平衡等概念：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂；力（F）和力臂（L）的乘积（M）叫做力矩；绕固定轴转动的物体平衡的条件是：使物体顺时针方向转动的力矩之和等于使物体逆时针方向转动的力矩之和。

在高中物理中，我们又学过一种重要的物理思想——等效思想：某些物理问题中，一个过程的发展、一个状态的确定，往往是由多个因素决定的，在这一决定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，则前一些因素与后一些因素是等效的，它们便可以互相代替，因此我们可以将这种多因素过程合并处理成一个熟悉的、易处理的单因素过程，而对最后结果并无影响，这就是等效法，比如给多个质点找同一个重心，把重力、电场力两“力”叠加为一个“力”——“等效重力”，都是等效法的应用。同理，我们可以把质点系或复合场中的物体自由时能处于稳定平衡状态的位置称为“等效最低点”； 物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置称为“等效最高点”。

二、应用“力矩平衡”速找轻杆连接体的等效最低点

[例1]一直角轻杆两边等长，两端分别固定质量为m1的小球A和质量为m2的小球B，质量关系为m2=m1，轻杆能绕水平转轴O在竖直面内转动。现使OB水平，如图1所示，两小球从静止开始运动，经过一段时间轻杆转过θ角。不计转轴摩擦和空气阻力，两小球可视为质点，下列说法正确的是（ ）

A.θ角最大可达到150°

B.当θ=90°时，两小球速度最大

C.当θ=30°时，两小球速度最大

D.当θ=60°时，两小球速度最大

常规解法：系统机械能守恒，减小的重力势能等于增加的动能，有m2gLsinθ-m1gL（1-sinθ）=（m1+m2）v2，又m2=m1，解得v=

故当θ=60°时，速度有最大值；当θ=120°时，速度又减为零；故选D.

速解方法：因系统机械能守恒，速度最大意味着势能最小，势能最小意味着稳度最大，稳度最大的位置应在等效最低点，此时力矩平衡，则m1gLsinθ=m2gLcosθ， 又m2=m1，

故当θ=60°时，轻杆连接体在等效最低点，速度有最大值，而θ角最大意味着速度为0，物体恢复到静止状态，因系统机械能守恒，它应该关于等效最低点对称，θ=120°时，θ角达到最大，故正确答案是D.

【点评】明显看出，用常规方法求解，涉及到三角函数的运算，难度相当大，而速解方法就简单多了。

三、应用“力矩平衡”速找带电体在竖直面内转动时的等效最低点

[例2]如图所示，在竖直平面内存在着水平向右的匀强电场，场强E=104N·C-1，有一质量m=0.10kg，带电荷量q=7.5×10-5C的小球，固定在一根长度L=0.40m的绝缘轻杆上，轻杆可绕固定轴O在竖直面内无摩擦转动，现将小球拉至位置A使轻杆水平后由静止释放，问：小球摆到什么位置速度刚好为0？（g=10m·s-2）

常规解法：设小球摆动角度φ之后，动能再次为0，因为只有重力和电场力做功，由动能定理得，mg·l·sin -qE（l-lcos ）=0，无论φ为钝角还是锐角，该式都成立，∴sin +0.75cos =

0.75，运用三角函数公式解得 =0或者 =1.6°.

速解方法：设轻杆摆动θ角后，到达等效最低点B，如图4，此时转动平衡，由平衡条件知θ只可能为锐角，且有mg·L·cosθ=qE·sinθ：，解得cotθ=0.75=，故θ=53°.

因为小球摆动中只有重力和电场力做功，能量守恒，小球到达A关于OB线的对称点C时，等效势能达到最大，动能再次为0，与初始位置A相比，转动角度 =2θ=106°，如图5.

【点评】在本题中，用常规方法求解，方程也简单，但是运算时要涉及到更为复杂的三角函数公式，而速解方法算起来就容易得多，而且对运动过程的描述更为清晰，如分析到θ只可能为锐角等。如果本题没有给出m、q、E的具体数值，速解方法的优势将更加明显。

[参考文献]

[1] 唐红鹰.“等效法”巧解复合场的圆周运动问题.物理教学探讨：中学生版高三卷，2005年 第2期.