探究问题本质让“涉高题”降下来

李明树

近几年来，各地中考中经常出现涉及高中知识（文献[1]中称为“涉高题”）解决问题的习题.此类习题在初中阶段完全可以采用初中知识求解，但是，如何在初中学生已有知识经验的基础上探寻解决问题的方法，一直困惑着一线教师；教师在平时的教学中往往为了拓展学生视野、增强学生思维，经常会把“涉高题”投到课堂上.本文笔者通过一次教研活动中一题的解法探讨为例，谈谈对此题的认识.

1问题呈现

已知：如图1，在△ABC中，顶点A在⊙O上移动，点G是△ABC的重心，设△ABC的重心G的轨迹是⊙O′，其半径为r，⊙O的半径为R，试探索r、R之间的数量关系.

这道题目放在高中该怎么解？放在初中又该怎么解？在不同的学段，对此题的要求和探究方式不同，如何让初中的学生感受“涉高题”的初中解法，同时体验数形结合的奥妙，使得“涉高题”完全降下来，特别是在初中学生已有知识和体验的基础上得到进一步的发展，从而真正理解数学的本质，促使学生的思维能力纵向、可持续发展.

2解法探讨

2.1建立平面直角坐标系，代数方法轻松解决问题

所以重心G的轨迹是以（xB+xC+a3，yB+yC+b3）为圆心，以R3为半径的圆.r=R3.

思考试想，此题如果放在高中，学习了圆的方程、三角形重心的相关知识之后，显然是一道很简单的题目.毕竟初中生没有足够的知识储备，没有高中知识的学习和了解势必会打击学生学习的积极性.但是作为一名初中数学老师，如何在此题中找到相应的平衡点，使得初中的学生跳一跳能够接受呢？有没有直观有效的、适合初中学生的解题方法呢？

2.2利用平面几何相关知识，构造相似三角形巧妙解题

解法四如图5，取BC中点D，连接AD、OA、OD，在DO上截取DO′=13DO，利用三角形重心的性质可得DG=13DA，进而证明三角形相似，得到O′G=13OA，即R=3r.此法中的线段O′G的得出也可以过点G做GO′平行于OA，再证明相似即可.

评析解法四到六很显然巧妙地规避了高中圆的方程的相关知识，巧妙地通过截取、构造线段成比例，利用平面几何知识中的相似三角形解题，解法确实降了不少，“涉高题”达到了“降”的目的，但是对于初中的学生来说，教师的这种讲授，学生真的能接受吗？这三种方法实质是一种方法，解题者都是默许了一个不该默许的问题，即三角形的重心性质的直接应用，“三角形重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1”.所以不妨反思，问题真的降下来了吗？学生能够理解问题的本质吗？如何达到真正的“降”的目的和效果，否则“降”的目的达到了，效果却没有，甚至使得学生的积极性受到打击，影响学生后续对数学的积极探究.笔者进行了如下的尝试，课前对题目进行了再设计，课堂上进行了再探究.3回归起点探究问题本质

波利亚曾经说过：如果你不能解所提的题目.如果有这种情况，别让这种失败太折磨你了，去尝试在某些比较容易获得的成功中得到安慰，先尝试去解某道有关的题目……教师在教学中需要引导和教会学生能从一道更容易着手的相关题目入手，因为人的优势在于：在不能直接越过障碍时会绕过去，在原来的题目看上去不能解时会思考某道适当的辅助题.学生要有这个能力才能达到提升数学思维水平和数学素养，教师，当然更是如此.

变式问题一如图8，△ABC中，AD、BE、CF分别是BC、AC、AB的中线，AD、BE、CF交于点G，则点G叫做三角形的重心.求证：AGDG=BGEG=CGFG=21.

此变式明确了指令，证明三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.但是对于初中学生来说，三角形的重心是什么？为何三条中线交于点G？还是一头雾水，似乎这道题目没有真正地降下来.

变式问题二如图9，△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，EC、FB交于点G，求证：EG=12CG.

略解如图10，过E作EH∥BF交AC于H.因为AE=BE，EH∥BF，所以AH=HF=12AF（平行线分线段成比例定理）.又因为AF=CF，所以HF=12CF，所以HF∶CF=12.因为EH∥BF，所以EG∶CG=HF∶CF=12，所以EG=12CG.

此变式中的点G即为△ABC的重心，而题目中没有涉及到“重心”一词，通过平行线分线段成比例定理很容易证明EG=12CG，不妨引导学生联想：FG=12BG成立吗？相信学生有了前面的解题经验，很容易解决.变式二明显有了很大的“降幅”规避了高中的知识，直接利用平面几何的知识解决了问题.但是，此变式貌似还没有完全解决问题的本质：三角形的三条中线为何交于一点？针对新的疑惑，不妨再次进行设计.

变式问题三如图11，△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，EC、FB交于点G，点D是BC的中点.连结AD，求证：点G在AD上.

分析由变式二易证EG=12CG，FG=12BG成立.如图12，连结AD交EC于G′，交BF于G″，由平行线分线段成比例可得：EG′CG′=FG″BG″=12，由变式二可得EGCG=FGBG=12，所以点G、G′、G″三点重合.图13巧妙的利用学生熟悉的知识解决问题，从而真正让“涉高”题降下来.为了进一步开拓学生的视野，教师不妨在此问题的基础上再添上一个问题，加强对学生确定数学经验的理解与应用：“如图13，

试说明S△BGC=S△AGC=S△AGB”.易得GH′=13AH，S△BGC=13S△ABC；同理可得S△AGC=S△AGB=13S△ABC，即S△BGC=S△AGC=S△AGB.如何提高课堂效率，深入培养学生的思维能力和未来的竞争力，教师的数学教学内容的设置和引导极为重要，因为数学活动的对象是学生，教师把自己“降”下来，“想学生所需”，从学生已有的认知经验和思维水平出发，真正考虑学生学习中可能出现而又可以“跳一跳”解决的问题，合理的设计问题，引导学生思考，促进学生理解数学的本质.4小结

通过上述的探究，读者不难发现，原本初中学生无法解决的“涉高题”，经过系列的改编和变化，成为了一个很好的专题探究，很好的做到了初高中知识的衔接，为学生的后续学习提供了强有力的心理支撑和知识储备.改编以后题目涉及到的内容非常广泛，使得学生有了深层次的积累.首先，学生学会了问题的解决需要找到合适的切入点，否则会陷入困境.《数学课程标准》（2011版）中明确指出，数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够获得直接经验.即从学生实际出发，从学生理解题意做起，从学生“最近发展区”设计解题教学.在实际的教学中，要注重知识的“生长点”与“延伸点”；引导学生对于某些数学问题可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解；而数学经验的积累是提高学生数学素养的重要标志，帮助学生积累数学经验也是教师教学的重要目标.

参考文献

[1]金绍鑫.“涉高题”解法要避免涉高[J].中学数学教学参考.2015（1-2）：1-2-60